数学分析（第二卷）: 第4版

✍ Scribed by B.A.卓里奇

• Publisher: 高等教育出版社
• Year: 2006
• Tongue: Chinese
• Leaves: 604
• Series: 俄罗斯数学教材选译系列
• Edition: 4
• Category: Library

✦ Synopsis

数学分析（第2卷第4版 俄罗斯数学教材选译），ISBN：9787040202571，作者：（俄罗斯）B.A.卓里奇

✦ Table of Contents

前言
目录
第九章 连续映射（一般理论）
1 度量空间
1．定义和例子
2．度量空间中的开集和闭集
3．度量空间的子空间
4．度量空间的直积
练习
2 拓扑空间
1．基本定义
2．拓扑空间的子空间
3．拓扑空间的直积
练习
3 紧集
1．紧集的定义和一般性质
2．度量紧集
练习
4 连通的拓扑空间
练习
5 完备的度量空间
1．基本定义和例子
2．度量空间的完备化
练习
6 拓扑空间的连续映射
1．映射的极限
2．连续映射
练习
7 压缩映像原理
练习
第十章 线性赋范空间中的微分学
1 线性赋范空间
1．分析中一些线性空间的例子
2．线性空间中的范数
3．向量空间中的数量积
练习
2 线性和多重线性算子
1．定义和例子
2．算子的范数
3．连续算子空间
练习
3 映射的微分
1．在一点可微的映射
2．微分法的一般法则
3．一些例子
4．映射的偏导数
练习
4 有限增量定理和它的应用的一些例子
1．有限增量定理
2．有限增量定理应用的一些例子
练习
5 高阶导映射
1．n阶微分的定义
2．沿向量的导数和n阶微分的计算
3．高阶微分的对称性
4．若干评注
练习
6 泰勒公式和极值的研究
1．映射的泰勒公式
2．内部极值的研究
3．一些例子
练习
7 一般的隐函数定理
练习
第十一章 重积分
1 n维区间上的黎曼积分
1．积分定义
2．函数黎曼可积的勒贝格准则
3．达布准则
练习
2 集合上的积分
1．容许集
2．集合上的积分
3．容许集的测度（体积）
练习
3 积分的一般性质
1．作为线性泛函的积分
2．积分的可加性
3．积分的估计
练习
4 化重积分为累次积分
1．富比尼定理
2．一些推论
练习
5 重积分中的变量替换
1．问题的提出和变量替换公式的预期结论
2．可测集和光滑映射
3．一维情形
4．Rn中最简微分同胚的情形
5．映射的复合和变量
替换公式
6．积分的可加性和积分变量替换公式证明的完成
7．重积分变量替换公式的一些推论和推广
练习
6 反常重积分
1．基本定义
2．反常积分收敛性的控制判别法
3．反常积分中的变量替换
练习
第十二章 Rn中的曲面及微分形式
1 Rn中的曲面
练习
2 曲面的定向
练习
3 曲面的边界及其定向
1．带边曲面
2．曲面定向与边界定向的和谐性
练习
4 欧氏空间内曲面的面积
练习
5 微分形式初步
1．微分形式，定义及例子
2．微分形式的坐标记法
3．外微分形式
4．在映射下，向量的转移与形式的转移
5．曲面上的形式
练习
第十三章 曲线积分与曲面积分
1 微分形式的积分
1．原始问题，启发性想法，例子
2．形式沿定向曲面积分的定义
练习
2 体积形式，第一型积分与第二型积分
1．物质曲面的质量
2．作为形式的积分的曲面面积
3．体积形式
4．在笛卡儿坐标下体积形式的表示
5．第一型与第二型积分
练习
3 分析的基本积分公式
1．格林公式
2．高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式
3．R3中的斯托克斯公式
4．一般的斯托克斯公式
练习
第十四章 向量分析与场论初步
1 向量分析的微分运算
1．数量场与向量场
2．R3中的向量场与形式
3．微分算子grad,rot,div及？
4．向量分析的一些微分公式
5．曲线坐标下的向量运算
练习
2 场论的积分公式
1．用向量表示的经典积分公式
2．div,rot,grad的物理解释
3．一些进一步的积分公式
练习
3 势场
1．向量场的势
2．势场的必要条件
3．向量场具有势的判别准则
4．区域的拓扑结构与势
5．向量势、恰当形式与闭形式
练习
4 应用例子
1．热传导方程
2．连续性方程
3．连续介质动力学基本方程
4．波动方程
练习
第十五章 流形上微分形式的积分
1 线性代数准备知识
1．形式代数
2．斜对称形式代数
3．线性空间中的线性映射及共轭空间中的共轭映射
练习
2 流形
1．流形的定义
2．光滑流形与光滑映射
3．流形及其边界的定向
4．单位分解及流形以Rn中曲面的形式的实现
练习
3 微分形式及其在流形上的积分
1．流形在其一点的切空间
2．流形上的微分形式
3．外微分
4．形式在流形上的积分
5．斯托克斯公式
练习
4 流形上的闭形式与恰当形式
1．庞加莱定理
2．同调与上同调
练习
第十六章 一致收敛性，函数项级数与函数族的基本分析运算
1 逐点收敛与一致收敛
1．逐点收敛
2．基本问题的提出
3．依赖于参数的函数族的收敛性和一致收敛性
4．一致收敛的柯西准则
练习
2 函数项级数的一致收敛性
1．级数一致收敛性的基本定义和判别准则
2．级数一致收敛的魏尔斯特拉斯检验法
3．阿贝尔－狄利克雷检验法
练习
3 极限函数的函数性质
1．问题的具体化
2．两个极限过程可交换的条件
3．连续性与极限过渡
4．积分法与极限过渡
5．微分法与极限过渡
练习
4 连续函数空间的紧子集和稠密子集
1．阿尔采拉－阿斯柯利定理
2．度量空间C（K,Y）
3．斯通定理
练习
第十七章 含参变量的积分
1 含参变量的常义积分
1．含参变量积分的概念
2．含参变量积分的连续性
3．含参变量积分的微分法
4．含参变量积分的积分法
练习
2 含参变量的反常积分
1．反常积分关于参数的一致收敛性
2．反常积分号下取极限和含参变量的反常积分的连续性
3．含参变量的反常积分的微分法
4．含参变量的反常积分的积分法
练习
3 欧拉积分
1．β函数
2．Г函数
3．β函数和Г函数的联系
4．一些例子
练习
4 函数的卷积和广义函数的初步知识
1．物理问题中的卷积（启发性想法）
2．卷积的一些一般性质
3．δ－型函数族和魏尔斯特拉斯逼近定理
4．分布的初步概念
练习
5 含参变量的重积分
1．含参变量的常义重积分
2．含参变量的反常重积分
3．具变奇异性的反常积分
4．高维情形的卷积，基本解和广义函数
练习
第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换
1 一些主要的与傅里叶级数有关的一般概念
1．正交函数系
2．傅里叶系数和傅里叶级数
3．分析中正交函数系的一个重要来源
练习
2 傅里叶三角级数
1．经典傅里叶级数收敛性的基本形式
2．傅里叶三角级数逐点收敛性的研究
3．函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度
4．三角函数系的完全性
练习
3 傅里叶变换
1．函数的傅里叶积分表示
2．函数的微分性质和渐近性质与其傅里叶变换的联系
3．傅里叶变换的最重要的演算性质
4．应用举例
练习
第十九章 渐近展开
1 渐近公式和渐近级数
1．基本定义
2．渐近级数的一般知识
3．渐近幂级数
练习
2 渐近积分（拉普拉斯方法）
1．拉普拉斯方法的基本思想
2．拉普拉斯积分的局部化原理
3．典型积分及其渐近式
4．拉普拉斯积分的渐近主项
5．拉普拉斯积分的
渐近展开
练习
口试提纲
考试大纲
参考文献
基本符号索引
索引
补序
中文版修订者的话