✍ Scribed by 高崎金久
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前書き
目次
第1章 ミンコフスキー時空と自由場の方程式
1. ミンコフスキー時空
1.1 ミンコフスキー計量
1.2 光円錐
1.3 等長変換
1.4 共形変換
1.5 スピン構造
1.6 ユークリッド時空の場合
1.7 超双曲型時空の場合
2. スピナー算法
2.1 反変スピナー
2.2 共変スピナー
2.3 スピナーとテンサー
2.4 スピナー添字の上げ下げ
3. スピナー形式の自由場の方程式
3.1 クライン-ゴルドン方程式
3.2 ディラック方程式
3.3 マクスウェル方程式
i) マクスウェル方程式の相対論的形式
ii) 微分形式による表現
iii) 対称スピナー場への分解
iv) 自己双対・反自己双対な微分形式との関係
v) 対称スピナー場に対する場の方程式
3.4 無質量自由場の方程式
i) ローレンツ変換に関する共変性
ii) 引き延ばしに関する共変性
iii) 反転に関する共変性
覚え書き
第2章 ツイスター誕生
1. ツイスター誕生の背景
2. ナル直線とナルツイスター
3. ツイスター空間
3.1 一般のツイスターの解釈
3.2 双対ツイスター空間およびアンビツイスター空間
4. 時空の再解釈
4.1 時空点の解釈
4.2 共形構造の解釈
4.3 グラスマン多様体としての時空
4.4 線形群の作用
5. 時空とツイスター空間の幾何学的対応
5.1 クライン対応
5.2 3種類のツイスター空間を含む対応図式
5.3 他の型の時空の場合
6. 無質量自由場の積分表示
6.1 正ヘリシティの自由場の方程式の場合
6.2 負ヘリシティの自由場の方程式の場合
6.3 ツイスター空間の分割
6.4 積分表示のコホモロジー的解釈
覚え書き
第3章 層と複素多様体
1. 集合の層
1.1 集合の前層
1.2 集合の層
1.3 層空間
1.4 準同型
2. 代数構造をもつ層
2.1 アーベル群の前層と層
2.2 完全系列と複体
3. 複素多様体上の函数・微分形式の層
3.1 正則ドラーム複体
3.2 ドルボー複体とドルボーコホモロジー
3.3 いくつかの補足
4. 局所自由層と正則線形束
4.1 局所自由層
4.2 正則線形束との対応
4.3 正則線形束に係数をもつドルボーコホモロジー
5. 射影空間とグラスマン多様体
5.1 複素射影空間
5.2 複素グラスマン多様体
覚え書き
第4章 層係数コホモロジーとペンローズ変換
1. チェックコホモロジー
1.1 開被覆に関するチェックコホモロジー
1.2 開被覆の細分に伴うコホモロジーの関係
1.3 細分に関する帰納的極限
2. 連結写像と長完全系列
2.1 短完全系列と長完全系列
2.2 長完全系列の0次コホモロジーの部分
2.3 連結写像の構成
3. その他の一般的性質
3.1 細層
3.2 細分解
3.3 ルレイの定理
4. 斉次正則函数の層のコホモロジー
4.1 複素射影直線上の斉次正則函数の層のコホモロジー
i) 0次コホモロジー
ii) 1次コホモロジー
4.2 周回積分とセール双対性
4.3 スピナー場の積分表示の解釈
4.4 多変数複素函数論に関する補足
5. ペンローズ変換のコホモロジー的定式化
5.1 旗多様体上の正則相対微分形式の層
5.2 正則相対微分形式の層のコホモロジー
5.3 ペンローズ変換のコホモロジー的定式化
覚え書き
第5章 ゲージ場のツイスター理論
1. ユークリッド時空上のヤン－ミルズ方程式
1.1 作用汎函数と場の方程式
1.2 自己双対・反自己双対な微分形式
1.3 作用汎函数の満たす不等式とインスタントン解
1.4 自己双対・反自己双対条件とヤン－ミルズ方程式
2. 反自己双対方程式と複素構造
2.1 ツイスター空間と複素構造
2.2 複素座標で書いた反自己双対方程式
2.3 ツイスター空間上の正則線形束
2.4 正則線形束のもつ性質
3. インスタントン解の ADHM 構成法
3.1 解のデータ
3.2 解のデータの対称性と標準形
3.3 解の構成
3.4 反自己双対性の確認
4. 複素時空上の反自己双対方程式
4.1 複素化された反自己双対方程式
4.2 ヤンの方程式
4.3 有理函数の行列を用いる特殊解の構成法
5. ウォード変換
5.1 基本的設定
5.2 順変換
5.3 逆変換
5.4 分解問題による解の構成
覚え書き
第6章 重力場のツイスター理論
1. 曲がった時空を記述する枠組み
1.1 一般相対論の時空
1.2 正規直交動枠によるレビ・チビタ接続の記述
1.3 カルタンの構造方程式
2. スピナー接続と反自己双対方程式
2.1 レビ・チビタ接続のスピナー接続への分解
2.2 さまざまな反自己双対条件
3. 共形的反自己双対時空のツイスター的記述
3.1 共形的反自己双対時空のツイスター空間
3.2 共形的反自己双対時空の復元・生成
4. 右平坦時空のツイスター的記述
4.1 右平坦時空のツイスター空間
4.2 右平坦時空の復元・生成
5. リーマン－ヒルベルト問題としての定式化
5.1 変換函数によるツイスター空間の構成
5.2 特別な座標系による右平坦時空の記述
5.3 右平坦時空の簡単な構成例
覚え書き
参考文献
索引
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