Эта книга является развитием лекции, прочитанной автором в Московском университете для школьников 9-10 классов. В ней рассказывается, как из простого геометрического понятия с помощью математической абстракции возникло общее определение расстояния. Приведены различные примеры пространств с расстоянием, так называемых метрических пространств. При этом оказывается, что общее понятие расстояния связано с разнообразными математическими фактами. На основе понятия расстояния можно изучать задачи о кратчайших путях на поверхностях, геометрические свойства многомерных пространств, методы помехоустойчивого кодирования сообщений, методы «сглаживания» результатов измерений и др. На примере «расстояния» видно, какую роль в математике играет создание общих понятий, находящих порой самые неожиданные применения и связи. Кроме «расстояния», можно было бы еще указать на понятия «функции», «предела», «пространства», «преобразования» и менее известные в широкой аудитории понятия «изоморфизма», «группы», «кольца» и др. Среди этих понятий «расстояние» - одно из наиболее доступных для элементарного объяснения, чем, пожалуй, в основном обусловлен выбор темы этой книги. Автору хотелось доступными для массового читателя средствами показать, как одна плодотворная идея освещает широкий круг вопросов и служит источником для получения неожиданных результатов или нового взгляда на какую-либо область знания. Эта ситуация, характерная для любой науки, в математике очень часто проявляется в наиболее чистом виде, не заслоненная обилием необходимых, но мешающих подробностей. Материал, отобранный для книги, в основном диктуется этим общим замыслом. Первые четыре параграфа как раз и должны раскрыть читателю, как происходит переход от обычного геометрического определения к общему понятию «расстояния» и что это новое «понятие» означает в различных конкретных случаях. В пятом параграфе описывается так называемое пространство сообщений, играющее важную роль в теории информации и общей теории связи. Следующий параграф посвящен описанию методов кодирования сообщений, при которых сообщение оказывается устойчивым к ошибкам, возникающим в процессах передачи. Так как во всех реальных средствах связи время от времени возможны ошибки, то эти методы кодирования чрезвычайно существенны для современных систем связи и управления. Так, при передаче с борта космической ракеты на Землю фотографии обратной стороны Луны использовались помехоустойчивые методы кодирования этого сообщения. Необходимо отметить, что основная идея этих методов состоит в надлежащем использовании свойств расстояния в пространстве сообщений. Седьмой параграф несколько более сложен для понимания. В нем описывается важный класс пространств с расстоянием. В восьмом параграфе показано, как с помощью понятия расстояния можно получить методы сглаживания результатов измерений, т.е. фактически снижения ошибки в измерении каких-то опытных данных за счет соответствующей математической обработки. По существу в этом параграфе изложен так называемый метод наименьших квадратов. Для понимания этого параграфа нужны некоторые сведения из дифференциального исчисления. Читатель, не обладающий необходимыми познаниями, может этот параграф опустить. В последнем параграфе рассматриваются возможные обобщения понятия расстояния. Здесь автору хотелось показать, что далеко не всякое обобщение является содержательным, т.е. обладающим интересными свойствами. Придумать хорошее обобщение какого-либо математического понятия на самом деле не просто. В основе содержательного обобщения всегда лежат какие-то существенные свойства реального мира. В частности, важность понятия расстояния состоит в том, что целый ряд свойств многих реальных объектов связан с их взаимным расположением, которое часто можно охарактеризовать надлежащим образом определенным расстоянием. Так, например, хотя электроны в оболочке атомов нельзя представлять себе в виде материальных точек, все же в квантовой механике можно особым образом определить «расстояние» между различными состояниями электронов в атоме. Это «расстояние» по идее близко к одному из определений расстояния из §7 (так называемое пространство l2). Автор будет считать свою задачу выполненной удовлетворительно, если эта книга действительно раскроет перед читателем идеи, о которых говорилось выше.