uber vertauschbare Potenzreihen
Von HERMANN KAUTSCHITSCH in Klagenfurt (Eingegangen a m 15. 11.1977) I. Einleitung Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement 1. I m Ring R [ [ z ] ] der formalen Potenzreihen uber R ist neben der Addition und Multiplikation noch eine dritte Operation, die Komposition 0 , definiert durch f o g = f(g(z)), auf naturliche Weise gegeben. Unter der Ordnung der Potsnzreihe f ( z ) = 2' a,d verstehen wir den kleinsten Index v mit a, =! = 0. Die Komposition ist im Unterring der Potenzreihen positiver Ordnung unbeschrgnkt ausfuhrbar und die Algebra 8 = ( R [ [ s ] ] , 0 ) ist ersichtlich eine Halbgruppe rnit dem Einselement z. 1st (RI z 1, dann ist 8 nicht kommutativ, wir geben daher folgende Definition. Zwei Potenzreihen f ( x ) urul g ( x ) heipen vertauschbar, wenn gilt : Ziel dieser Arbeit ist es nun, slmtliche mit einer gegebenen Potenzreihe vertauschbaren Potenzreihen anzugeben. Wir unterscheiden dabei den Fall der Potenzreihen mit einer Ordnung 2 2 und den sehr aufwendigen Fall der Potenzreihen erster Ordnung mit einem vom Einselement 1 verschiedenen Koeffizienten, der schon in [ l ] , [ 6 ] behandelt wurde. I m allgemeinen wird uber den Koeffizientenring R vorausgesetzt, dab er ein Korper der Charakteristik 0 ist. f(4 o g ( 4 = 9(x) o f (5)-11. Vertausehbarkeit von Potenzreihen g(z) mit einer Ordnung n z 2 Um alle mit g ( x ) vertauschbaren Potenzreihen angeben zu konnen, stiitzen wir uns auf zwei Hilfssltze, die ich in [5] (Hilfssatz 3 und 4) bewiesen habe: Hilfssatz 1. Es sei R ein Integritatsbereich, n nicht teilbar durch. die Charakteristik von R und g(x) = bllxn + b,, ,xn + . . . eine Potenxreihe der Ordnzrng n z 2 . Dann gibt es fur alle 'rn t 1 hochstens n -1 Potenzreihen der Ordnung m, die rnit g(x) vertauschbar sind. Ist R ein algebraisch abgeschlossener Korper, dann gibt es so viele derartige Potenzreihen, als es verschiedene ( n -1 )-te Einheitswurzeln gibt. Lst R ein Korper, dann bildet nach [4] die Menge A der formalen Potenzreihen der Ordnung 1 eine Gruppe bezuglich der Komposition o und man kann daher