Über verbandsgeordnete Vektorgruppen mit Operatoren. Til Karl Egil Aubert, for tyve års liaison scientifique et amicale
✍ Scribed by Isidore Fleischer
- Book ID
- 102488799
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1976
- Tongue
- English
- Weight
- 261 KB
- Volume
- 72
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Es sind schon mehr als 20 Jahre vergangen, seitdem LORENZEN seine grundlegende Arbeit ,,Uber halbgeordnete Gruppen" [5] veroffentlicht hat. Dagegen scheint die Fortsetzung, LORENZEN [6], vollig unbeachtet geblieben zu sein,leider, denn viele der nachfolgenden Abhandlungen lieIjen sich ja in ihren Rahmen zwangslos eingliedern (etwa das letzterwahnte offene Problem 41 in dem Buchlein [4], das schon so eine Losung finden wurde). Das sol1 hier am Beispiel des Artikels AUBERT [I] einmal auseinandergesetzt werden. Das LORENZENsche Ergebnis 1aBt sich folgendermaBen ausdriicken : Sei V ein Verband, der noch mit der Struktur einer aus ordnungserhaltenden Selbstabbildungen bestehenden (unter funktionaler Verknupfung) Halbgruppe 9 mit Identitatsoperator versehen wird. Damit sich V als subdirekter Unterverband und B-Untermenge eines Produktes von vollgeordneten9-Mengen (d. h. solchen, auf denen 9 ordnungstreu operiert), darstellen laBt, sind folgende drei Bedingungen notwendig und hinreichend : (i) V ist distributiv, (ii) Q operiert als Verbandsmorphismen, (iii) ct(u)Aj3(b)<cr(b)Vj3(u) fur alle a , P C Q und u, b e V . Von nun an sei V als Verbandsgruppe angenommen. (i) trifft dann bekanntlich zu ; die Multiplikationen mit festen Elementen (Gruppentranslationen), die ja Ordnungsautomorphismen sind, genugen (ii) ; da sich (iii) in e=-[a(b)Vj3(a)]-l [a(a)A/?(b)] = [a(b)-iAj3(a)-1] [a(a)Aj3(b)] =a(b)-l a(u)AB(u)-l P(b)/\ . -* umwandeln laBt, wiirde schon (iii') a ( b ) -l a(a)AP(a)-l P(b) -=e hinreichen. Auf Grund von cAc-I<c+Ac-=e fur jedes cCV ist letzteres zunachst fur a , 0 gleich den Identitatsoperator erfullt und gilt daher auch fur die Linksmultiplikationen, deren Ausubung nach einem a nichts an der Bedingung Indert. Daruber hinaus bewahrt die Nach-Ausubung eines Gruppenmorphismus y die Menge der (iii') genugenden a , wenn aus a A b -= e, y ( u ) A b < e folgte.1) Fur ordnungserhaltenden Gruppenmorphismen ist letzteres fiir die Darstellung wohl notwendig, da es 1) Werden die Gruppenmorphismen punktweise (also als Funktionsraum uber dem positiven Kegel) teilweise geordnet, so geniigt mit jedem y auch alle Kleineren dieser Bedingung.