5 1. Einleitung Unter einem Ring verstehen wir in dieser Arbeit stets einen assoziativen Ring. Ein Ring heiBt ARTINsCh (NOETHERSCh), wenn er der Minimalbedingung (Maximalbedingung) fur Rechtsideale geniigt. Ein Ring R geniigt der eingeschrankten Minimalbedingung erster Stufe fur Rechtsideale wenn der Faktorring RIA fur jedes Ideal A =# (0) von Rder Minimalbedingung fur Rechtsideale geniigt, d. h. wenn RIA ARTINsch ist. Ein solcher King wirdals EIMIR-Ring bezeichnet. Ein EEIMIR-Ring ist ein EIMII1-Ring, dcr nicht ARTINsch ist. Es sei k > 1 eine natiirliche Zahl. Wir konnen i n d u k h Ringe mit eingeschrankter Minimalbedingung E-ter Stufe fur Rechtsideale (in Bezeichnung : E,MIR-Ringe) definieren : Ein Ring R heiBt E$.fIR-Ring, wennderFaktorring RlAfiirjedesIdeslA + (0)von Rein E,_,MIR-Ring i8t. Ein iiE,dfIR-Ring ist ein E,MIR-Ring, der kein Ek_,MIR-Ring ist. Analog konnen wir ABELsche Gruppen mit eingeschrankter Minimalbedingung k-ter Stufe fur Untergruppen dcfinieren und beseichnen sie aLs E,MI-Gruppen. Einc EE,MI-Gruppe 1st einc E,MI-Gruppe, die keine flk-,MI-Gruppe ist. Ein Ring R heiBt strcnger E,MIR-bzw. EE,MI R-Ring, wenrl die additive Gruppe von R eine E,MI-bsw. EF:E,MI-Gruppe ist. Nach einigen notwendigen Vorbereitungen geben wir in 5 3 die notwcndige und hinreichende Hedingung dafiir an, daB ein EEkl+fI R-Ring ein semi-primarer Ring mit nilpotentcm Jncousoh.schen Radikal sein w i d . Es wird ferner gezeigt, daB ein nilpotenter Ring genau dann cin Efl,iJfIR-Ring ist, wenn seine additive Gruppe eine EE,MI-Gruppe ist. I n 5 4 zeigen wir, daB sich jeder semi-primare Ring, dcssen JAcoBsoxsches Radikal ein nilpotenter &:E,MIR-Ring ist, durch endlich viele unendliche Schiefkorper, endlich viele natiirliche Zahlen und einen strengen EE,MlH-Ring ( h 2 k) charakterisieren 1aBt. Tnsbesondere gibt es keine ARTINschen Ringe mit JAcousoNschem EE,MIR-Radikal (k 1, 2 , . . .).
2. Vorbereitungen
Fur einen Ring R sei (R, +) die additive Gruppe und J ( IL') das J ~c o 1 3 s o ~s c h e Radikal von H. Ein Ring R heiBt semi-primar, wenn der Faktorring R / J ( R ) ARTINsch ist. Beaitzt 11 ein Einselement und ist R / J ( R ) voller Matrizenring uber 15.