Sind R ein Euklidischer Raum einer Dimension > 1, A eine zusammenhlingende abgeschlossene Menge aus R, U eine zusammenhiingende offene Menge aus R, f und f' homotope Abbildungen von A in sich, g und g' homotope Abbildungen von U in sich, ferner F , P', G, G' die Menge der Fixpunkte von f , f', g bzw. g', so entsteht die Frage nach Beziehungen zwischen F und F', ebenso zwischen G und G'.
Ein bekanntes Ergebnis ist folgender Satz: \Venn A ein absoluter Umgebungsretraktl), 1, die Lefschetzsche Zahl von f nnd 1, + 0 , so ist F + 0 und 3" + 0. Ein anderer Satz besagt2): Sind A ein endliches F'olyeder, die Anzahl der Pixpunkte von f und f' endlich, M und M' die Summe der Indizes der Fixpunkte von f bzw. f ' , so ist M = 00.
Vom letzten Satz ganzlich verschieden gilt in der offenen Menge U ein Satz, den wir in Abschnitt 4 beweisen und der folgendes besagt : Zu jeder ganzen Zahl j 3 gibt es eine zu g homotope Abbildung g1 von U in sich mit den Eigenschaften: 91 besitzt genau einen Fixpunkt, und dieser letztere hat den Index p .
In den Abschnitten 1 bis 3 hergeleitete Satze bereiten Abschnitt 4 vor.
1. Ein Hilfsatz
Falls L = 0 , enthalt der nachstehende Hilfssatz folgende einfache Aussage :
Sind 5' ein n-Simplex in R, ferner U , V offene Mengen aus R mit SC U und f , g stetige Abbildungen von U in V , so kann man f , g unter Festhaltung auf U -U derart in Abbildungen f l , g1 deformieren, daI3 jede Koinzidenz von
Die weiterhin auftretenden ,,Simplexe" sind Euklidisch und offen, e ist die Entfernungsfunktion ; der ,,Index" ist der Poincark-Brouwersche Index.
Hilfssatz. Es seien R ein Euklidischer Raum, die Dimension n von R groper als Null, S ein n-Simplex in R, K der aus den Seiten + S von S bestehende simplixiale Komplex, L ein Teilkomplex + K von K , P das xu L gehorige Polyeder, U eine offene Menge 3 3 -P in R , V eine weitere offene Menge in R und E cine positive Zahl. Ferner seien f , g stetige Abbildungen von 6 in V derart, dab in P keine Koinzidenz von ( f , 9 ) .