Die Fixpunkte stetiger Abbildungen von Polyedern in sich sind der Gegenstand zahlreicher Untersuchungen. Die vorliegende Arbeit liefert zu diesem Problemheis einige weitere Ergebnisse. -Sind f und f' stetige fixpunktfreie Abbildungen eines r-dimensionalen Euklidischen Zahlenraumes R ' in sich, also Abbildungen mit p + f ( p ) und p + f ' ( p ) fiir alle Punkte p des Rz, so gibt es trivialerweise eine Schar (f', 0 5 t 5 1) stetiger Abbildungen f' des Rr in sich mit fD = f und f' = f'. Es existiert aber auch, wenn r > 1 , eine Schar (g', 0 5 t 5 1) stetiger Abbildungen g' des Rr in sich mit go = f , g1 = f' und der Eigenschaft, daW fur 0 5 z 5 1 die Abbildung g" keinen Fixpunkt hat.
Mit anderen Worten: die Abbildungen f und f' lassen sich fiir r > 1 fixpunktfrei ineinander uberfuhren. Dies wird in Abschnitt 1 gezeigt.
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist, im weiteren zu zeigen, da13 man die fiir einzelne Abbildungen oft behandelte R a g e nach Fixpunktmindestzahlen auch bei Abbildungsscharen stellen und in einer der Abwandlung des Problems angepaBten Form zu beantworten vermag.
Ein anderer Satz uber Abbildungsscharen, der in Abschnitt 2 bewiesen wird, lautet : Sind P eine r-dimensionale Sphare, r > 0 , und f , f' singularitatenfreie Vektorfelder auf P , so existiert eine Schar ( f " , 0 5 z 5 1) von Vektorfeldern f' auf der Sphare P mit f a = f , f' = f' und den Eigenschaften: fiir z + $ ist das Vektorfeld f' singularitatenfrei, f & hat genau eine SingularitLt. -
Bezeichnet man ein Vektorfeld als ,,normal", wenn es hochstens endlich viele Singularitaten hat, so lassen sich nach dem vorstehenden Satz zwei singularitatenfreie Vektorfelder auf einer Sphare durch eine Schar normaler Vektorfelder ineinander uberfuhren. -Ein weiteres, in Abschnitt 3 hergeleitetes Ergebnis ist folgendes: Sind P eine r-dimensionale Sphare, r > 0 , und f , f'
Vektorfelder auf P , deren jedes genau eine Singularitat hat, SO existieren eine Kurve (q', 0 5 z 5 1) und eine Schar ( f " , 0 2 t 5 1) von Vektorfeldern f rnit f " = f , f' = f' und der Eigenschaft, daW fur 0 5 t 5 1 der Punkt q' der einzige singulare Punkt von f ' ist. -Da jedes Vektorfeld auf den Sphiiren eine von der Identitat wenig entfernte Abbildung und umgekehrt jede solche Abbildung ein Vektorfeld bestimmt, sind die unten fiir kleine Abbildungen hergeleiteten Satze mit den vorstehenden iiber Vektorfelder aquivalent. Die Beschrankung der Untersuchungen auf spezielle Mannigfaltigkeiten wie Ebene und Sphare und auf spezielle Abbildungen, namlich solche, die von der Identitat wenig entfernt, ist keine von dem Problem geforderte. Eine Ausdehnung der Untersuchungen auf allgemeinere Polyeder und Abbildungen