Über lineare Differentialgleichungen, deren Lösungen einer Rekursionsformel genügen. Erhard Schmidt zum 75. Geburtstag gewidmet
✍ Scribed by Wolfgang Hahn
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1950
- Tongue
- English
- Weight
- 807 KB
- Volume
- 4
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Il b er 1 in e ar e D i f fey en t i a1 g leichun g en, dereii Losungen einer Rekursionsformel genugen. EI~HARD SCHMIDT zum 75. Crebiirtrstag gewidmet. 1'011 WOLFGANG HAHN in Berlin. (Eingegangen an? 21. 1. 1960.) 1. Unter eiiier l'olynoinket te verstehe ich eine Folge von Polynonieii pn ( x ) = xn + a,il xn-l + --+ unPz, die ciner dreigliedrigen Rskursionsformel geniigen. Der Fall des Orthogonalsystems (an roell, Pn positiv) der iibrigens ini folgenden keine besondere Rolle spielt, ist hierin mit einbegriffen. Uber die all- genieinen Ketten 1al3t sich nicht sehr vie1 mssagen; will man iriteressantere Ergebnisse erhalten, so mu13 man die Kette irgendwie durch Zusatzforderungen oder besondere Wahl der an, Pn spezialisiercnl). Fast alle der bisher nhher untersuchten speziellen Ketten sind durch folgende Eigenschaft nusgezeichnet : Jedes Polynom pn (x) befriedigt eine lineare homogene Differentialgleichung, deren Koeffkzienten Polynoiiic sind, und alle diese Gleichungen haben dio (von n unabhangige) Ordnung r . Bci den sogenmnten klassischen Orthogon~lpolynomen hczndelt es sich beispielsweise urn hypergeonietrische Differentialgleichungeri oder urn deren Aust~rtungen. Es erscheint dnher die Frage berechtigt, wie iiberhaupt Ketten besohaffen sein miissen, damit fur jedes vn (x) eine solche Differentialgleichung existiert bzw. in welcher Weise eine Differentialgleichung von n abhiingen mul3, damit sie fur ganzznhlige n gewisse Kettenpolynome zu Losungen hat. %ur erstctn &'rage gibt es zwei Teilergebnissc. SIIOHAT~) hat gezeigt, dal3 diejenigen Or thogonalpolynoine einer DifferentialgleichunE: zweiter Ordnung geniigen, dereri Belegiingsfunktion p ( x ) eine Relation A (x)p'(x) -B ( x ) p ( x ) = 0 [ A (x) , B ( x ) Polynome] erfiillt. Sodann hat &ALL*) die Ketten gekennzeichnet, dereii Different i algleic h u ng die 'For in (1.1)
hat, wohei die Konstanten nicht von n abhiingen. l ) Vgl. z.B. E. SOHMIDT, Uber die nebst ihren Ableitungen orthogonalen Polynomensysteme unddas zugehorigeExtremum.Math.Ann.,Berlin 119 (1944), 165-204; W.HAHN, uber Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genugen. Math. Nachr., Berlin 2 (1949), 4-34.