Über k-reguläre Abbildungen von Sphären in GRASSMANNsche Mannigfaltigkeiten

✍ Scribed by Thomas Friedrich; Peter Wintgen

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1975
• Tongue: English
• Weight: 343 KB
• Volume: 66
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19750660126

✦ Synopsis

I n dieser Arbeit wird bewiesen, daB k-regulare Abbildungen von Spharen in GRASSMANNsChe Mannigfaltigkeiten gewisser Dimensionen bordant null sind. E s sei Y eine differenzierbare N-dimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse C, mit einem projektiven Zusammenhang. Der projektive Zusammenhang auf Y induziert in natiirlicher Weise fur differenzierbare Abbildungen f : X -+ Y Schmiegraume k-ter Ordnung 8: & Tfc,,(Y), II: E X , die in dem Fall, daB X eine Untermannigfaltigkeit des projektiven Raumes PN ist, mit den iiblichen SchmiegrBumen iibereinstimmen (vgl. W. F. POHL [5]). Man nennt f eine k-regulare Abbildung, wenn die Schmiegraume S," von f fur jedes z E X die groBtmogliche Dimension haben d. h., sie ist gleich dem Minimum von N und ~( n , k ) = ' 1 -1 ; ' 12 = dim x . Aus Resultatenvon E. FELDMANN folgt, daB fur N 5 v(n, k ) -n und N 2 ~( n , k ) + ?z in jeder Homotopieklasse k-regulare

Abbildungen von X in Y existieren. I n der ,,kritischen Zone" fur A',

(1) brauchen dagegen keine k-regularen Abbildungen existieren. IVir beweisen hier durch geeignete Rechnungen in den STIEFEL-WHITNEYsChen Klassen des kanonischen Vektorraumbiindels iiber der GRAssMANNsChen Mannigfaltigkeit Gp,q (q-Ebenen des p-dimensionalen affinen Raumes durch einen festen Punkt) :