Ober gleichgradig stetig fortsetzbare quasikonforme Abbildungen
Von JOCHEN BECKER in Berlin (Eingegsngen am 13.11.1975) 1 . Sei G ein m-fach zusammenhiingendes Gebiet der erweiterten komplexen Zthlenebene C, das von m (geschlossenen) Jordankurven berandet werde (m z i), untl sei ;3.0 eine kompakte, d. 11. normale und abgeschlossene Familie K-quasikonformer Abbildungen ~7on G in e. Die hier und im folgenden auftretenden topologischen und metrischen Begriffe, wie z. B. (gleichmaI3ig) konvergent, normale Familie, (gleichgradig) stetig, (gleichgradig) lokal zusammenhiingend sollen stets im Sinne der spharischen Metrik , . interpretiert werden. Insbesondere heiI3t eine kompakte Teilmenge Ec c^ lokal zusninnienh&ngend, wenn es zu jedem E > O ein 6 r 0 gibt, so daI3 beliebige Punkte a, b e E niit dem Abstand d(a, b)-=6 stets durch ein Kontinuum BcE mit dem (sphiirischen) Durchmesser diam B < E verbunden werden kijnnen. Eine Familie (5. kompakter Punktmengen heillt gleichgradig lokal zusammenhiingend, wenn 6 >O unabhiingig von E € (3 gewihlt werden kann.
gehau denn gleichgradig (undgleichmiiaig) stetigfortsetzbaraufQ=CT U i?Gist,wenn@= @V(G) I f € 3 } gleichgradig lokal zusammenhiingend ist (Satz 1). Hieraus folgt sofort, daB eine loknl gleichmiil3ig konvergente Folge (f,) von K-quasikonformen Abbildungen nut nicht-konstanter Grenzfunktion genau dann stetig fortsetzbsr und gleich-inii13ig lionvergent in G ist, wenn die Komplemente der Bildgebiete C\f,(G) gleicligradig lokal zusammenhiingend sind (Satz 2).
Auf diese Weise konnen also sowohl die gleichgradige und gleichmiillige Stetigkeit als auch die gleichinBBige Konvergenz K-quasikonfornier Abbildungen geometrisch charakterisiert werden. Zugleich werden hierdurch zwei Siitze ~7on CH. POMMERENKE [a], S. 279/283, iiber die stetige Fortsetzbarkeit einer schlichten Funktion bzw. iiber die gleichmiillige Konvergenz einer Folge schlichter Funkt ionen verallgerneinert . Da :~ls Grenzfunktion einer lokal gleichmal3ig konvergenten Folge K-quasi-Es wird nun gezeigt, daB eine Teilmenge 8 der Familie 19 math. Nachr. Bd. 80