In dieser Abhandlung wird eine gewisse Halbordnung < im System derjenigen Teilmengen einer unendlichen Menge betrachtet, welche mit dieser gleichmiichtig sind. Die Ausgangsmenge wird dabei als wohlgeordnet vom Typus einsr Anfangszahl A vorausgesetzt, so daB man sie direkt als die Menge [ 0 , A ) aller Ordnungszahlen < A auffassen kann. Das Ziel ist u. a. die Herstellung moglichst umfassender hinsichtlich der Halbordnung < wohlgeordneter Teilsysterne des Systems {M} der Mengen M C [ 0 , A ) vom Typus A . Es zeigt sich, daB die (ordinal) abgeschlossenen unter diesen Mengen M eine besondere Rolle spielen kraft des engen Zusammenhangs, der zwischen ihnen besteht. Fur regulares /1 sind die Resultate ubersichtlicher als fur singulares A , wo u. a. noch eine Spezialisierung 0 < der allgemeinen Halbordnung < hinzutritt.
1. Zeichenerklamng
Unter A verstehen wir im folgenden immer eine Anfangszahl; ist A = co,, so sei A, = ma+,,. Mit , I bezeichnen wir stets eine Limeszahl. 1st M eine Menge, so bedeute M ihre Machtigkeit und, wenn sie geordnet ist, l @ ihren Typus. 1st a ein Ordnungstypus, so bezeichne LU seine Machtigkeit. Sind a < #? Ordnungszahlen, so sol1 [a, 8) die Menge aller 5 < #? sein. Entsprechende Bedeutung haben [ a , #?I, ( a , PI, (a, P) . -Eine Teilmenge M C [ 0 , A ) mit 2 = A heiBt ein A-Ted (von [ O , A ) ) . Wir setzen M* = [ O , A ) -M . -1st F = {a,}, < eine wohlgeordnete Menge oder eine Folge von Elementen a,, so nennen wir die Ordnungszahl y auch die Lange von F . Mit F,, bezeichnen wir den Rest {LX,+~},,<~, mit F,,, den Abschnitt {a,},.,,, von F . -#? cf a bzw. M cf a bedeute, daB der Typus #? mit dem Typus a bzw. die Menge (oder Folge) M mit dem Typus a konfinal ist; entsprechend M cf N mit M 3, N . 1st a eine Ordnungszahl > 0, so bezeichnen wir mit x (a) die kleinste-also regulare -Zahl e, fur die a cf e gilt. Es ist x (a + 1) = 1 . Wir verwenden gelegentlich die logistischen Zeichen A (,,und"), V (,,oder"), *, +*. 0 bedeutet die leere Menge. mit a 2. Definition von >, a> . Sei a eine unendliche Kardinalzahl. Dann bezeichnen wir die Relation A -B < Q zwischen den Mengen A und B mit A <I B oder B D A . Aus A C B folgt also A u B. Die Relation <I ist eine schwache Halbordnung, d. h. sie ist reflexiv und transitiv, wie aus der Beziehung ____ C -A C (C -B) w (B -A ) = (C -( A A B)) w (B -A )