J. SCHAUDER bewies den Fixpunktsatz fur vollstetige Selbstabbildungen konvexer, kompakter und abgeschlossener Mengen im Banachrauml) dadurch, da& er in geeigneten endlichdimensionalen Teilmengen beliebig genau approximierende Abbildungen betrachtete, die dann nach dem Brouwerschen Satz stets Fixpunkte besitzen. Mit Hilfe dieser Methode kann man nun auch andere im Euklidischen Raum gultige Fixpunktsatze auf Banachraume ubertragen; in den $5 1 und 2 werden zwei Beispiele dafiir gegeben. Es handelt sich um die tfbertragung des Fixpunktsatzes fur die gelocherte Vollkugel (Satz 1) und eines Fixpunktsatzes fur ein topologisches Produkt (Satz 3), der zunachst noch selbst (als Satz 2) bewiesen wird. Auf eine im Prinzip ahnliche Weise haben LERAY und SCHATJDER~) die Theorie des Abbildungsgrades fur Abbildungen f (x) = x + F (x) mit vollstetiger Verschiebung F (x) auch auf Banachraume ubertragen. In 5 3 und 8 4 werden zwei in den Rahmen dieser Theorie gehorige Satze bewiesen: Die ubertragung des Satzes von H. HOPF uber die Selbstabbildungen der n-Sphare 3) (Satz 4) und des Kriteriums iiber die Fortsetzbarkeit der Selbstabbildung der n-Sphare zu einer stetigen Abbildung der vollen Kugel auf die berandende Sphare (Satz 5 ) auf Hilbertraume. Q 1. Fixpunktsatz fur die gelocherte Vollkugel Unter ,,gelocherter Vollkugel" wird genauer die folgende Menge verstanden : Aus einer abgeschlossenen Vollkugel werden p ganz im Innern liegende und paarweise punktfremde offene Kugeln entfernt ; yi seien die *) Entnommen aus der von dor Mathematisch-Natunvissentichaftlichen Fakultiit dcr l ) SCHAUDER, Der Fixpunktsatz in Funktionalriiumen. Stuclia Math. 8, 171 (1930). 2, LERAY und SCHAUDER, Topologie et Equations Fonctionnelles. Annales de 1'Ecole 3) H. HOPF, Die Klassen der Abbildungen der n-dim. Polyeder auf die n-Sphare.