Über eine Nicht-Archimedische Mathematik als Grundlage einer neuen Mechanik und Physik (Limitentheorie)

✍ Scribed by H. I. Gramatzki

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1928
• Tongue: English
• Weight: 813 KB
• Volume: 234
• Category: Article
• ISSN: 0004-6337
• DOI: 10.1002/asna.19282340202

✦ Synopsis

Uber eine Nicht-Archimedische Mathematik als Grundlage einer neuen Mechanik und Physik (Limitentheorie) '). Von H. 1 Gramatzki. Die zurzeit zur Darstellung naturgesetzlicher Beziehungen venvendete (klassische) Mathematik arbeitet mit einemGroBenbegnff, der den Wert UnendlichgroB, beziehungsweise BeliebiggroB als moglich setzt. Dies ist ausgedruckt im archimedischen Postulat : a + a + a + * . -> b . i d Es besagt, daB durch fortgesetzte Addition einer GroDe a ein Betrag erreicht werden kann, der eine andere, beliebige GroBe. b stets ubertrifft. Daniit ist das Unendlich-groBe, bzw. BeliebiggroBe als moglich gesetzt. Da der Begriff Unendlich in der Empirie n i c h t existiert, er der Erfahrung n i c h t zuganglich ist, so taucht die Frage auf, ob bei der Darstellung der Beziehungen einer Erfahrungswelt, die das Unendliche a u s s c h l i e o t , mit Hilfe einer Mathematik, die das Unendliche e i n s c h l i e n t , nicht Widerspruche auftreten mussen, insbesondere, wenn wir uns gewissen Grenzwerten nahern, und ob nicht eine Mathematik, deren GroBenbegriff das archimedische Postulat n i c h t erfullt, zur Darstellung der Naturgesetze geeigneter ist. Eine solche Mathematik verhielte sich zur klassischen wie beispielsweise die Rienzawzsche Gcometrie zur Euklidischen und kann naturlich in sich folgerichtig aufgebaut werden. Das Grundaxiom einer scilchen Matheniatik lautet : a+ a+ a+ a + .**LA d. h. bei beliebig lang fortgesetzter Addition kann die Summe n i c h t beliebig groB werden, sondern hochstens gleich (kleiner als) A . -4 ist die obere Grenze, der L i m e s. U ber das + Zeichen ist ein Bogen gesetzt, da dieses TZeichen naturlich eine andere Hedeutung hat als jenes der klassischen Mathematik.

Um in der neuen Mathematik rechnen zu lionnen, mussen wir sie auf die klassische abbilden. 1st in Gleichung ( I ) a gleich der Einheit, so gibt uns die klassische Addition die Anzahl der Einheiten in der Summe an. Wir wollen dies den astatistischen(( Wert der Summe nennen, denn er wird durch -4 b z a h l e n bestimmt. Die neue Betrachtungsweise gibt uns n i c h t die Anzahl der Einheiten an, sondern einen vom Limes abhangigen Wert. Diesen wollen wir den seffektivencc Wert der Summe (im Limes ..fj nennen. Er ist nicht abziihlbar, ab:r, wie wir sehen werden, menbar. Wir haben also die Beziehung zwischen statist.ischen und effektiven Werten zu finden. Der abzahlbare, statistische Wert hat absoluten Charakter, denn die Anzahl zum Beispiel der Teilstriche auf einem Manstab kann sich nicht andern, in welchen Zustand man den Manstab auch versetzt, wohl aber seine Lange.

Der Vergleich der Postulate zeigt, wenn .,I das Limes-Prinzip, co das archimedische bedeutet, daB