Über eine Erweiterung der Sätze von G. Frobenius und O. Hölder in der Limitierungstheorie

✍ Scribed by Viktor Garten

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1951
• Tongue: English
• Weight: 266 KB
• Volume: 5
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19510050206

✦ Synopsis

Uber eine Erweiterung der Fatze yon 6. Frobenius und 0. Holder in der Limitierungstheorie.

ERNST HOLDER zum 50. Geburtstag gewidmet.

Von VIKTOR GARTEN in Tubingen. (Eingegangen am 2.3.1951.) Von G. FROBENIUS') riihrt der Satz her, dal3 eine nach der Methode der arithmetischen Mittel limitierbare Folge s , zum gleichen Wert s auch A-limitierbar ist, d. h. die Abelschen Mittel m a ( z ; s , ) = (1 -z ) : ) c s , x " V = O fur x + 1 -0 dann gegen s streben. Fur die durch lterierung aus den arithmetischen Mitteln hervorgehenden Holderschen Mittel k-ter Ordnung l n

hjf'(8,) = -2 hLk-", hsp' = s , (n = 0, 1 , 2, . . .; k = 1 , 2 , . . .) n f 1 4 zeigte 0. HOLDER^), daB aus der Hk-Limitierbarkeit einer Folge s , zum Wert s, d. h. aus h',;k'(s,) + s fur n + m, stets auch ihre A-Limitierbarkeit zu demselben Wert folgt. Mit den aus der gleichen Zahlenfolge s , auf etwas andere Weise iterativ gebildeten Cedroschen Mitteln3) stehen die Holderschen Mittel in engem Zusammenhang, der sich etwa in dem Knopp-Schneeschen Aquivalenz~atz~) ausdruckt : Aus c ! ~' ( Q , ) --& s folgt stets hlf'(sv) + s und umgekehrt. Folglich besteht ein dem Holderschen ganz entsprechender Satz: Aus der Ck-Limitierbarkeit einer Folge zum Wert s, d. h. aus c!f'(s,) --f s fur n + 00, folgt stets ihre A-Limitierbarkeit zum gleichen Werte.