Über eine Abschätzung des Fehlers der Nullstellen ganzrationaler Funktionen einer komplexen Veränderlichen mit fehlerhaften Koeffizienten
✍ Scribed by Othmar Zaubek
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1963
- Tongue
- English
- Weight
- 629 KB
- Volume
- 25
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Dem mir bekannten Schrifttum nach zu sohlieBen, wurden allgemeinere Abschatzungen des Fehlers der Wurzeln algebraischer Gleichungen uber dem Korper aller komplexen oder auch nur der reellen Zahlen, bzw. der Nullstellen ganzrationaler Funktionen einer komplexen Veranderlichen, deren Koeffizienten rnit Fehlern behaftet sind, wobei die absoluten Betrage dieser Fehler eine angegebene Schranke nicht uberschreiten, bisher nicht veroffentlicht .
Es soll nun in dieser Arbeit in einfacher Weise, mit Hilfe von Methoden der Analysis und der Punktmengenlehre, insbesondere mit Hilfe des als Stetigkeitssatz der Wurzeln algebraischer Gleichungen bekannten Satzes [4] eine derartige Abschatzung durchgefiihrt werden, welche, wie ich glaube, nicht nur theoretisch von einigem Interesse ist, sondern auch fur die Anwendungen von einiger Bedeutung ist.
Gleichzeitig soll eine, wie es mir scheint, neue Beweisart dieses Satzes uber die Stetigkeit der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion einer komplexen Veranderlichen sowie ein Stetigkeitskriterium fur Abbildungen, welches beim Beweise beniitzt wird, mitgeteilt werden.
Nennen wir der genaueren Ausdrucksweise halber die Summe der Ordnungen aller in der Punktmenge A liegenden Nullstellen einer analytischen Funktion f (z) der komplexenVerlinderlichen z die ordnungsbewertete oder, wenn keine Verwechslung rnit anderen Bewertungen zu befurchten ist, kurz die bewertete Zahl aller Nullstellen von f auf oder in A , so wollen wir also den folgenden bekannten Satz benutzen : Satz. Ist f ( z ) =c ai zi eine ganxrationale Funktion n-ten Grades der komplexen Veranderlichen z rnit den komplexen Koeffizienten a! und ist z = r eine Nullstelle k-ter Ordnung von f(z), so gibt es ein u* > 0, so dap es zu jedem positiven B 5 B* ein 6 = 6(a) > 0 derart gibt, dab fiir jedes System komplexer Koeffizienten Gf (j = 0, 1, . . ., n), fiir welches laj -Eil < 6 ist, die n