Die in dieser Arbeit betrachteten Zetafunktionen sind von KAHLER definiert worden'), wobei Begriffe eine Rolle spielen, deren Zusammenstellung hier angebracht erscheint. Ein kommutativer Ring S mit Einselement heiBe Erscheinung des Ktkpers K , wenn die Nicht-Einheiten von S ein Ideal ' ;p bilden und K der Quotientenkorper von S ist. Solche Ringe sind als Stellenringe, vor allem unter der Voraussetzung der Giiltigkeit des Teilerkettensatzes, schon lange, insbesondere von KRULL untersucht worden. Stets mogen, wenn s, S , sl, S' usw. Erscheinungen bedeuten, die entsprechenden Buchstaben p , 9, pl, 3' usw. das jeweilige maximale. vom ganzen Ringe verschiedene Ideal bezeichnen. Die Beziehung zwischen S und dem Korper SIP werde auch so gedeutet : S ist die in der Perspektive S + SIP dem Korper SiQ dargebotene Erscheinung von K. Jene Zeichen p , P, pl, 8' usw. mogen stets auch die betreffenden Perspektiven bezeichnen. Ein Ring R heiBe Basis der Erscheinung S genau dann, wenn R Unterring von S und jedes Element von S Quotient Eine Mannigfaltigkeit eines Korpers K ist als eine Gesamtheit V von Erscheinungen (von Perspektiven) *) von K durch folgende beiden Eigenschaften gekennzeichnet : 1. Der Durchschnitt irgend zweier in V vorkommenden Erscheinungen ist 2. Jede Erscheinung, die eine in V vorkommende Erscheinung zur Basis hat, mit a, b E R, b Q ' $ ist. Basis dieser Erscheinungen. gehort selbst zu V . *) Die vorliegende Arbeit stimmt fast vollstimdig mit der Dissertation (Leipzig 1955) des Verfassers uberein.
l ) Siehe KAHLER, Sur la thborie des corps purement algbbriques. Colloque de Gbombtrie Algbbrique, Liege 1952. Vgl. ferner wegen der hier erklarten Begriffe KAHLER, Ober rein algebraische Korper, Diese Nachr. 6, 69-92 (1951), KAHLER, Algebra und Differentialrechnung, Ber. Math.-Tagung Berlin 1963 und vor allem KAELER, Geometria aritmetica, Ann. di Matematica (erscheint demniichst). a) Mit einer Erscheinung sol1 stets die zugehorige Perspektive betrachtet werden und umgekehrt. Es ist daher oft nicht wesentlich, welcher der beiden BegriBe genannt wird. ' ) Genauer wire die Beseichnung N,a anmtett Na, aber ee mind in dieeer Arbeit k0in0 MiBveret&ndniasg zu befiirohten.