Eingegangen am 27. 1.1981) 1. Ehleituiig. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung des verallgemeinerten NIcoLETTI-Problems fur mehrwertige Funktional-Differentialgleichungen mit Voreilung des Arguments. Unter Benutzung des Fixpunktsatzes von NADLER ([12]) fur mehrwertige Kontraktionen wird die Existenz der Losung der betrachteten Aufgabe bewiesen. Die bisher bekannte Literatur uber Differentialgleichungen mit voreilendem Argument betrifft vornehmlich die Existenz und Eindeutigkeit der Losung des CATJCHY -Problems fur verschied ene Typen von Gleichungen (vgl . [ 11, [ 31, [ 41, [ 91, [13], [14]). In [5] und [S] sind die klassische bzw. verallgemeinerte NICOLETTI-Aufgabe fur einwertige Funktional-Differentialgleichungen mit Voreilung des Arguments betrachtet. In diesen Differentialgleichungen ist die GroBe der Voreilung des Arguments beschrankt. Das verallgemeinerte NICOLETTI-Problem fur einwertige Differential-Funktionalgleichungen mit unbeschrankter Voreilung des Arguments liegt den Untersuchungen von J. BLAZ und A. BIELECKI ([2]) zugrunde.
2. Bezeiehnungen und Definitionen.
Sei X = R" der euklidische Raum mit der Norm 1-1; sei d(x, y)= Iz-yl mit x, EX und bezeichne&(X) die Schar der nichtleeren, kompakten und konvexen Untermengen von X . 1st PE&(X) und Q @(S), so setzen wir
y) und d ( y , P ) = inf d(x, y). Das Paar (&(X), D) ist ejn metrischer Raum mit der von d erzeugten HAusDoRFFschen Metrik D. Es sei T = [ O , + -) und @ der Raum der stetigen Funktionen q~ : T -X mit der Topologie der fast gleichmaBigen Konvergenz in T. 1st ,u : T -T eine stetige Funktion und ist q ~€ @ , so bezeichnet das Symbol [p],,,, die Einschrankung der Funktion q~ auf [ O , ,u(t)]. Die Menge aller Einschrankungen einer fest gewahlter 8 XEP Funktion q ~€ @ wird mit eP bezeichnet, und e8 sei C? = U eP. In der Schar C ? fuhren rCE @ wir die HAUSDORFFSCHE Metrik e ein durch