LaBt sich das Quadrat des Bogenelements einer Flliche auf die Form (1) ds2 = [X (5) + Y ( ! / ) I (dx2 + dy2) bringen, so nennt man die Flache eine Liouvillesche Fllche. Die Parameterkurven x, y = const bilden dann auf der Flache ein spzielles Isothermennetzl). Derartige Netze nennt man Liouvillesche Netze. Die Netzkurven eines Liouvilleschen Netzes bilden auf der Fliiche ein System ,,geodatischer Ellipsen und Hypsrbeln ". Auf einer beliebigen Flkche existieren entweder iiberhaupt kein, ein, ool, w2 oder w4 Liouvillesche Netze. Die Flachen mit w4 Liouvilleschen Netzen sind identisch mit den Flachen konstanter Kriimmung. Eine Fliiche mit w2 Liou-villes2hen Netzen ist entweder eine Rotations-oder Schiebefliiche oder auf eine dieser Fliichen isometrisch abbildbar. Auf einer Rotations-oder Schiebeflache existiert entweder genau eine Liouvillesches Netz oder es existieren deren w2. Das schwierige Problem, samtliche Flachen zu errnitteln, auf denen genau 001 Liouvillesche Netze existieren, wurde von KOENIGS und RAEFY gelost. Sie gaben sarntliche Formen f iir das Quadrat des Bogenelements derartiger Flachen an2). Bei diesen Betrachtungen beschrankte man sich im wesentlichen auf solche Fliichenteile, auf denen die Netze reguliir sind. Die Singularitaten der Liouvilleschen Netze wurden nicht systematisch untersucht. (Man nennt ein Parameternetz auf einer reguliiren Flache in einem bestimmten Flachenpunkt regular, wenn es in einer gewissen Umgebung dieses Flachenpunktes topologisch aquid e n t dem kartesischen Parameternetz in der euklidischen Ebene ist.) Die vorliegende Arbeit befaBt sich mit den singularen Stellen der Liouvilleschen Netze auf den regularen Flachen. Es wird gezeigt, daB ein Liouvillesches Netz auf einer reguliiren Flache hochstens isolierte singuliire Stellen besitzt. Hinsichtlich der topologischen Struktur der Liouvilleschen Netze in der Umgebung der singuliiren Stellen treten die folgcnden beiden Typen auf. l) Leothermennetze sind solche Kurvennetze auf Fliichen, deren Netzkurven 80 auagewiihlt a) Vgl. A. VOSS, Abbildung und Abwicklung zweier Fliichen aufeinander. Encykl. math. werden konnen, dal3 dadurch die FlLche i n infinitesimale Quadrate aufgeteilt wird.