Über die Summation neutraler Zerschlagungen in beliebigen algebraischen Bereichen
✍ Scribed by Hans Konrad Schuff
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1954
- Tongue
- English
- Weight
- 492 KB
- Volume
- 11
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Die vorliegende Arbeit schliefit sich a n die Ergebnisse der Arbeit ,,Uber Elimination in beliebigen Mengen mit allgemeinsten Operationen" von K. DORGE und mirl) an. Es hat sich dort gezeigt, dafi in algebraischen Bereichen manche Eigenschaften von den Dimensionen I T, I der Operationen f, abhangen. Diese Abhangigkeit zeigt sich besonders bei der Summenbildung von neutralen Zerschlagungen eines Bereichs B = [M(2B0,) ; R (f,)] . Wie z. B. bei BIRKHOFF~) zu finden ist, erhalt man bei endlicher Dimension aller Operationen die Summe einer Menge von neutralen Zerschlagungen des Bereichs, indem man zu jedem Element a aus B die Menge $?(a) aller Elemente X des Bereichs bildet, zu denen es endliche Ketten el, R2, . . . , an von Klassen der betrachteten neutralen Zerschlagungen gibt, so dafi a E Rl, X E 5Yn und eV n fur v = 1, 2 , . . . , n -1 nicht leer ist. Man erhllt hier die Summe der neutralen Zerschlagungen gleichsam ,,ohne Berucksichtigung" der Operationen von B . 1st eine Menge (1( von Zerschlagungen eines Bereichs B = [M(9JIp); R(f,)] gegeben, so erhalt man die kleinste gemeinsame Oberzerschlagung der 8, E ' 21, in dem man fur jedes p E M und jedes mO, E 9JI0, die Menge R(m,) aller Elemente GO, €'%I2, bildet, zu denen es eine Kette von Klassen obiger Art gibt. Wir bezeichnen diese Zerschlagung von B mit 2 2,. Sind die Zerschlagungen 8, € alle neutral, so bezeichnen wir die kleinste neutrale Oberzerschlagung der Za mit 2 2,. Es gibt dann stets: 2 Z,zx 2,. Es gibt aber auch Bereiche, in denen hier das Gleichheitszeichen nicht gilt. Ein Beispiel hierfur ist z. B. von K. Dorge in der Arbeit ,,Bemerkungen uber Elimination in beliebigen Mengen mit Operationen" 3, angegeben worden. Fur Bereiche mit Operationen endlicher Dimension folgt also speziell der Satz 27 = 2 2, fur jede monoton wachsende Folge neutraler Zerschlagungen. I n dieser Form, d. h. fur monotone Folgen gewisser Lange, laBt sich der Satz jedoch in erheblich allgemeineren Bereichen beweisen. __ -1) Diese Nachr. 10, 315-330 (1953).