In meiner Arbeit [2] wurde unter anderem zu einer vorgegebenen singularen Integralgleichung ein losender Operator konstruiert, und fur den Kern der Integralgleichung und den Kern des losenden Operators, die singuliire Resolvente, wurden zwei Funktionalgleichungen aufgestellt, die denen in der Theorie der Fredholnischen Integralgleichungen vollig entsprechen. I n der vorliegenden Arbeit wollen wir umgekehrt von diesen Funktionalgleichungen ausgehen und in 9 2 wie in der Fredholmschen Theorie einige Folgerungen aus ihnen ziehen. Diese Arbeit stutzt sich wie [2] auf die Theorie der singularen Integralgleichungen von MUSCHELI-WILI [l], aus der die wichtigsten Tatsachen, soweit sie hier benotigt werden, in 9 2 von [Z] zusammengestellt sind. Den Inhalt dieses Paragraphen setzen wir hier als bekannt voraus und verweisen den Leser ausdriicklich auf ihn bei Einzelheiten iiber Voraussetzungen (z. B. H-Bedingung, normaler Typ usw.), Definitionen (z. B. Index) und Bezeichnungen. Wir geben hier lediglich einige Formeln wieder, an die wir unmittelbar ankniipfen werden. 5 1. Bekannte Ergebnisse Eine singulare Integralgleichung hat die Gestalt (1) Kg, = f ( t 0 ) mit wobei L ein geschlossenes Kurvensystem in der komplexen Ebene bezeichnet und t sowie to Punkte auf L sind. Der Operator (2) hat die charakteristischen Koeffizienten A ( t ) und (3)
B ( t ) = K ( t , t ) mit K ( t o , t ) = n i ( t -t o ) K ( f o , t ) .
Ist B ( t ) = 0, so haben wir es mit einer Fredholmschen Gleichung zweiter Art zu tun, die in (1) als Spezialfall enthalten ist. Andernfalls ist die Gleichung wirklich singular und die Integration im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes zu verstehen. Daher mu13 man bei Vertauschung von Integrationen die Formel von PoincarB-Bertrand (4) anwenden, bei der B, und B2 gemiiB ( 3 ) aus Kl bzw. K2 hervorgehen.
s 2 1 (to , t ) s 2 2 (t , t l ) d t l d t = Bl (to) B2 (to) + s J& (to 9 t ) k2 (t , t l ) d t dt,