Uber die Realisierbarkeit gegebener Verteilungstypen durch Streckennetze
Von LILIANA MABEL GYSIN in Buenos Ares (Eingegangen am 21.4.1987) Zusemmenfassuag. In dieser Arbeit beweisen wir eine von R. SULANKE in ,,Integmlgeometrie ebener Kurvennetze" [2] offengelassene Frage, und zwar, &I3 jeder realisierbare Kurvennetztyp truch durch ein Streckennetz realisierbar ist. AuDerdem haben wir die Typen, fur die 6 die groBtmiigliche Zahl ist, bis auf eine Ausnahme. vollstHndig gelost. Hiermit erweitern wir SULANKES Resultat, welches fur diejenigen Typen, ftir die die gro8tmogliche Zahl kleiner oder gleich 5 ist, gilt. 1. Einleitiiug In seiner Arbeit Jntegralgeornetrie ebener Kurvennetze" [ 21 beschiiftigt sich R. SULANKE mit der bewegungsinvarianten Geometrie ebener Kurvennetze. Unter einem Kurvennetz G wird eine Vereinigung von endlich vielen beschriinkten konvexen Bogen der Ebene verstanden, die paarweise hochstens Endpunkte gemeinsam haben. Die einfachste Invariante, die man einem Kurvennetz G zuordnen kann, ist das System der Wahrscheinlichkeiten pi=pi(G) (i= 1, 2, ..., a) dafur, da13 eine Gerade, die das Netz trifft, mit ihm genau i Punkte gemeinsarn hat. Ah Typ des Netzes G wird die Menge der naturlichen Zahlen ( m = il-= i2 -= ... 4 ik = = N > verstanden, fur die Pij(G) > O gilt. Sofort ergibt sich dann die Frage: Wann existiert, bei gegebener Menge, ein Netz, dessen Schnittpunktverteilung diese Menge als Typ besitzt; d. h. wann ist ein Typ realisierbar? In [2] gibt STTLANKE fiir jeden Typ rnit M s5 an, ob er realisierbar ist oder nicht, mit Ausnahme von zweien &e spater in einer Arbeit von G . HRISTOV [ 13 gelost werden. Dazu beweist SULANKE einige Teilresultate fur Kurvennetze, andere aber nur fur Streckennetze, und es erscheint daher wunschenswert, dal3 jeder durch ein Kurvennetz realisierbare Typ auch durch ein Streckennetz realisierbar wiire. Diesen Beweis 1ii13t SULANKE offen. In &eser Arbeit haben wir einige Resultate SULANIEE'S vervollstiin>. In 5 2 werden &e benotigten Definitionen und einige der Teilresultate von SULANKE und HRISTOV angegeben. In fj 3 beweisen wir, da13 jeder durch ein Kurvennetz realisierbare Typ auch durch ein Streckennetz realisierbar ist. I n fj 4 zeigen wir fiir jeden Typ mit M = 6 , ob er realisierbar ist oder nicht, mit der Ausnahme (1, 2, 3, 6).
Ich mochte Dr. N. FAVA fur die vielen nutzlichen Hinweise und fruchtbaren Diskussionen, die mich zur Aufnahme der Lemma 2 und 3 brachten, herzlich danken.