Über die Parameterdarstellungen algebraischer Mannigfaltigkeiten mittels Liescher Reihen: Dem Gedenken an Hermann Ludwig Schmid gewidmet

✍ Scribed by Wolfgang Gröbner

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1958
• Tongue: English
• Weight: 894 KB
• Volume: 18
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19580180138

✦ Synopsis

Einleitung und Zusammenfassung

Ausgehend vom LIEschen Ring der zu einer algebraischen Mannigfaltigkeit gehorigen Differentialoperatoren konnen in jedem regularen Punkt der Mannigfaltigkeit analytische Funktionselemente durch explizit angegebene konvergente Reihen definiert werden, welche die Mannigfaltigkeit in einer gewissen Umgebung des betrachteten Punktes schlicht darstellen. Die zu eillem anderen regulgren Punkt gehorigen Funktionselemente sind analytische Portsetzungen der erstenl). Die auf diese Weise auf der algebraischen Mannigfaltigkeit eingefuhrten Parameter erweisen sich als Abelsche Integrale 1. Stufe (d. h. einfache), welche sich leicht explizit angeben lassen. Geht man umgekehrt von den Abelschen Integralen aus, so kann man ebenso einfach die Umkehrfunktionen dieser Integrale mittels LIEscher Reihen anschreiben und untersuchen. Damit erscheint auch das historische Urnkehrpoblem, von dem JACOBI seinerzeit ausgegangen ist , namlich ein einzelnes Abelsches Integral auf einer algebraischen Kurve umzukehren, in gropter Allgemeinheit geltist. l) Die Grundgedanken fur diem Darstellungen sind schon in meiner Arbeit: Kontinuierliche Transformationsgruppen auf algebraischen Mdgfaltigkeiten [Monetah. Math. 61,209-224 (1967)l enthalten. Oben werden dieae Reihendarstallungen nicht n u genauer analpi&, sondern auoh verallgemeinert. In der zitierten Brbeit wurde nhmlioh die Konvergenz der Reihen aus dem allgemeinen Existenzsatz fitr die Msungen von DSerentialgleichungssystemen gefolgert, was nur unter der Voraueaetzung mtiglich war, daS die Baaisoperataren untereinander vertauschbar sind. Diem Vorauasetzung kann in der vorliegenden Arbeit weggelassen werden, weil ein direkter 'Konvergenzbeweia fiir die h o h e n Reihen uner allgemeineren Bedingungen benutzt wird. Eine ausftihrliche Darstellung diesea Konvergenzbeweisea eracheint demnaohat in meiner Arbeit: Die DarateUung der Msungen einea . Systems von Differentialgleiohungen durch Lmsohe Reihen [Arohiv der Math. 9, 82-93 (1958), Widmungsband far H. I(NEBER].