Über die Oszillationshalbnorm und den numerischen Radius von zu Übergangswahrscheinlichkeiten gehörenden Operatoren. Anwendungen auf MARKOVketten mit beliebigen Zustandsräumen
✍ Scribed by A. Rhodius
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1986
- Tongue
- English
- Weight
- 774 KB
- Volume
- 129
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Ober die Oszillationshalbnorm und den numerischen Radius von zu Uber-gangswahrseheinZichkeiten gehorenden Operatoren. Anwendungen auf MARKovketten mit beliebigen Zustandsraumen Von A. RHODIUS in Dresden (Eingegangen am 19. 12. 1984) 1. Einleitung Seit der Arbeit [8] vnn E. HOPF werden die Oszillationshalbnorm und deren Verallgemeinerungen voii einer Reihe von Autoren (siehe z. B. [2], [22], [15]) zur Abschatzung der Eigenwerte positiver Operatoren genutzt. E.
DEUTSCH und C. ZENCER [ 51 studieren einen zur Oszillationshalbnorm gehoreiiden numerischen Wertebereich stochastischer Matrizen. A. RHODIUS [171 gibt fur den allgemeineren Fall von Integraloperatoren Formeln zur Rerechnung des numerischen Radius an. In [ 181, [20] werden numerische Radien zur Charakterisierung des asymptotischen Verhaltens von MARKOVketten mit endlich vielen Zustanden genutzt. Die vorliegende Arbeit befaBt sich mit Eigenschaften der Oszillationshalbnorm und des numerischen Radius von zu allgemeinen Ubergangswahrscheinlichkeiten gehorenden Operatoren. AuBerdem werden Ueziehungen zwischen den numerischen Radien und dem asymptotischen Verhalten von MARKovketten mit beliebigen Zustandsraumen dargestellt. Der Begriff des numerischen Wertebereiches fur in HILBERTraumen wirkende liiieare Operatoren stammt von F. HAUSDORFF [7] und 0. TOEPLITZ [23] und wurde von F. L. BAUER [ 11 und G. LUMER [ 141 auf BANAcHraum-Operatoren ausgedehnt. (Siehe auch [3].) Wir verwenden folgenden allgemeinen Wertebereichsbegriff fiir Endomorphismen T des halbnormierten Raumes ( E , p ) (siehe [lS]). Jeder Abbildung Q p von der Einheitssphare S, = { ~E E : p ( x ) = l} in die Menge der Linearformen auf E mit B + Q P ( z ) ~D p ( x ) , D,(x)={f~l3' : f ( x ) = 1 , If(y)I s p ( y ) ( ~E E ) ) ( X E S ~) , ordnen wir einen numerischen Wertebereich VQp(T) zu : Die GrolJe up(!#!') =sup (la1 : A € VQp(T)} ist unabhangig von der speziellen Dualitatsabbildung Qp und heiBt numerischer Radius des Endomorphismus T. Unter dem Spektrum a ( T ) verstehen wir stets die Menge aller algebraischen Spektralwerte von T , das heiBt, I gehijrt genau dann nicht zu o ( T ) , wenn T-3.1 eineindeutig ist und ( T -U ) E=& gilt. VQP(T) = (f(T4 : f€&,(4, zESJ .