A = ai(t) D:, Dty = y' (1) auf einem Intervall U C R heirjt entartet oder singuliir, wenn der Koeffizient al(t) bei der hochsten Ableitung Nullstellen in U aufweist oder wenn U unendlich ist. In der vorliegenden Arbeit wird der Operator (1) im Fall eines unendlichen Intervalls U und endlich vieler Nullstellen endlicher Ordnung der Funktion %(t) in U betrachtet; eine solche Nullstelle wird auch als singuliire Stelle des Differentialoperators bezeichnet. Unter Verwendung der Ergebnisse der Arbeit [3] werden die normale Auflosbarkeit und der Index derartiger Operatoren in gewissen Paaren von SOBOLEWrilumen mit Gewicht und im SCHWARTzsChen Raum Y untersucht. Dabei werden Resultate von BOLLEY, CAMUS und HELFFER [l], [2] verallgemeinerb, die den Index gewisser Differentialoperatoren mit Polynomkoeff izienten auf dem Intervall (0, m) betreffen. Ferner wird unter anderem bewiesen, darj (im Gegensatz zu den partiellen Differentialoperatoren) die folgende Aussage gilt : 0, so erweist sich der Operator (1) im Raurn Y ( R ) stets als @-Operator. Satz 1. Sind die Koeffiixienten ai(t), i = 0, . . . , 1, Polynome und ist a,(t) 5 1. Einige Bezeichnungen und Hilfsmittel 1. Sind X und Y FRECHETriiUme, so heil3t der lineare und stetige Operator A : X --f Y, D ( A ) = X (wir schreiben dafiir A E 9(X, P)) normal auflosbar, wenn sein Bildbereich im A abgeschlossen in Y ist. Der normal auflosbare Operator A E 9(X, Y ) wird @+-(@-)Operator genannt;, wenn dim ker A < 00 (dim ker A < 00 und dim Y/im A < 00) gilt. Die Zahl ind A = dim ker A dim Y/im A heirjt Index des Operators A . Mit Wk(U), 1 < p < 00, k E No = N V {0}, bezeichnen wir den BANACRraum aller Funktionen y(t) E LJU) auf dem Interval1 U, die verallgemeinerte 166 Elaohner, Auflihbarkeit von entackten gewohnlichen Differentialopratoren Ableitungen y(O(t) E LJU), i = 1, . . . , k, besitzen; dabei wird W: = Lp gesetzt. Lp,( U), e E R, aei der BANAcmaUm {y = tPv : 2) E Lp( U)} mit der Norm 11 t-Py ] ILp. Ferner bezeichne C" (U) den FRECHETIvhUm der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf U, Y ( R ) den ScHwARTzschen Raum der unendlich oft differenzierbaren schnell fallenden Funktionen auf der reellen Achse und Y(z7) den FREUHETr&Um {y = wIu : w E Y ( R ) } (fur ein unendliches Interval1 U). SchlieSlich sei 6-(U) die Menge aller Funktionen y E COD( U), die im Fall sup U = + 00 bzw. inf U = -00 eine mymptotische Entwicklung