Einleitung
Es sei G eine endliche abelsche Gruppe mit der Basis g,, gr, . . . , g n . Aus schreibtechiiischen Grunden sol1 die Verknupfung in G stets additiv geschrieben werden. Weiter sei U eine Untergruppe von G mit der Basis u,, u2, . . . , u,. I n der vorliegenden Arbeit wird das Problem untersucht, aus der Basis von G und aus derBasisvon U eineBasis f i + U , f2 + U , . . . , f, + U der Faktorgruppe G / U zu gewinnen.
Es konnen nun die folgenden beiden Reduktionen vorgenommen werden : (a) Bekanntlich ist G die direkte Summe von p-Gruppen:
(Die pi seien hierbei paarweise voneinander verschiedene Primzahlen ; p selbst sei stets eine Primzahl.)
Ebenso gilt naturlich fur U :
wobei offenbar Vpi 0 (0 = (01, o ist das Nulleleinent von G ) sein kann. Fur GjU erhailt man dann Upi , i = 1, . . . , t , ist, also zugelassen wird, daB Vpi auch G/U = (Up, C Up2 -I * * * -I Up,)/(Vpl + Vp, C -* * 4 Vpt) Ferner werde G* = upl/ VpI C up,/ V p L -L . --4 upl/Vpipl gesetzt.
Sei jetzt g ein beliebiges Element von G. 9 hat dann die eindeutige Darstellung q = upi + upL + --* + upt mit up, € Up, , i = I , . . . , t . Dem Element g werde nun das Element g* = (up, + V p f , up2 + VPL, . . . , upt f Vp,) aus G* zugeordnet. Offenbar ist diese Zuordnung ein Homomorphismus V O ~ G auf G* mit dem Kern V p , + Vp2 4 C V p = U . Auf Grund des Homomorphiesa tzes gilt also der folgende