Die durch JOHN -ON KEWNN~) seit 1928 entnickelte Theorie der ,,Gesellschaftsspiele" hat in den letzten Jahren mit Recht vie1 Beachtung gefunden. Sie stellt zum erstenmal einen Versuch dar, verwickelte Vorgange des okonomischen Wechselspiels auf einfachste Elemente zuriickzufiihren, vergleichbar etwa der Zuriickfiihrung beliebiger Bewegungserscheinungen auf die Bewegung eines einzelnen Punktes unter dem EinfluB gegebener Krafte. Die folgende Darstellung des Grundproblems der v. Neumannschen Theorie (zero-sum two-person game) unterscheidet sich von den bisherigen zuniichst dadurch, daB die Mathematisierung der Aufgabe einen Schritt weitergetrieben ist. I n der ausfiihrlichen Darstellung in dem Buche von V. N E U M ~N N und MORGENSTERN 2), in dem jeder zur Sprache kommende arithmetische oder geometrische Tatbestand in seine letzten Elemente aufgelost wird, werden die Worte ,,Wahrscheinlichkeit" und ,,Erwartungswert" ohne jede Definition verwendet. Die dieser Verwendung zugrunde liegenden mathematischen Vorau'ssetzungen werden im folgenden, in Abschnitt 2 , piazisiert. Das eigentliche Ziel der. vorliegenden Arbeit aber ist es, erne vollsta?dige Losung des Spielproblems zu geben, d. h. ein Verfahren vorzuschlagen, das in einer endlichen Anzahl genau fixierter Schritte die ,,optimalen Strategien" fur beide Partner und den ,,Wert" des Spieles auffinden 1aBt. Die Existenz einer solchen Wertzahl fur jedes Spiel des einfachsten Typus bildet den Hauptsatz der Theorie. Fur ihn gab I-. NEUMANN 1928 einen Beweis, der die Benutzung von Funktionaloperatoren erforderte. Von JEAN VIUE~) stammt ein elementarer Beweis, der in seiner Kurze wohl nicht iibertroffen werden kann. Spater gaben V. NEUMANN~) selbst und HERMANN WEYL~) Beweise, die sich auf die Theorie konvexer Korper in mehrdimensionalen Raumen stiitzen. I m folgenden ergibt sich der Hauptsatz gewissermaoen als ein ,,Nebenprodukt" der Rechnung, die zur vollstandigen Losung des Spielproblems fiihrt. Diese Rechnung ist vollig J. v. NEUMANN, Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Math. Ann. 100,295-320 (1928). 2, J. v. NEUMANN and 0. MOROENSTERN, Theory of games and economic behavior. Princeton 1944. J. VTLLE, Sur la theorie gBnBrale de jeux ... . In: I?. BOREL, Trait6 du calcul des probabilitks et de ses applications. Tome IV, fasc. 11: Applications aux jeux de hasard. Paris 1938, S. 105-113. 4, H. WEYL, The elementary theory of convex polyhedra. -Elementary proof of a minimax theorem due to von Neumann. I n : Contributions t o the theory of games, edited by H. W. KUHN and A. W. TUCKER. Princeton 1950, S. 3-25.