Es bezeichne n eine naturliche Zahl 2 2, fz ein nichtleeres beschrgnktes Gebiet des n-dimensionalen EuKLrDischen Raumes R", d den LAPucE-Operator im R", y eine reelle Zahl und L den Differentialoperator L = d + y . In der Potentialtheorie ist eine Teilmenge K des Randes von D gefunden worden, so daB das im Sinne von N. WIENER verallgemeinerte Dirichletsche Problem eindeutig losbar ist. Es besteht darin, zu einer gegebenen stetigen Funktion f auf dem Rand 8 2 eine in l 2 harmonkche beschrankte Funktion u zu finden, so daB lim ufx) = f ( x ) ( x f K ) 2-2 (0.1) gilt. Nach N. WIENER sind fur BOREL-Mengen des R ' Kapazitaten auf verschiedene Weisen definiert worden. Fur die meisten Definitionen stimmen die Mengen der Kapazitat 0 oder zumindest die kompakten Mesgen der Kapazitat 0 uberein. Da im folgenden nur der Unterschied zwischen Mengen der Kapazitat 0 einerseits und Mengen positiver Kapazitat interessiert, benutzen wir eine Definition gemaB G. ANGER [5] und B.-W. SCHULZE [9] (s. u.). Mengen der Kapazitat 0 sind z. B. einelementige Mengen, aD\K oder die Vereinigung abzahlbar vieler Mengen der Kapazitat 0. Mengen positiver Kapazitat sind dagegen die Mengen 252 und K . Man sagt, daB eine Funktion f auf einer Menge A c R" annahernd uberall verschwindet, wenn {z f A :f(x) = l 0 } eine Menge der Kapazitat 0 ist. Das oben angegebene verallgemeinerte DIRICHLETsche Problem (kurz v. D. P.) jst insofern eine naturliche Aufgabenstellung, als es einerseits fur jeden Punkt zo E aQ\K eine stetige Funktion fo auf gibt, fur die die Losung uo den Randwert fo(zo) in zo nicht stetig annimmt, und andererseits keine beschrankte harmonische Funktion v + o auf D existiert, die annahernd uberall auf 252 (nicht notwendig auf K ! ) verschwindet. Das v. D. P. ist auch eine korrekte Aufgabenstellung (im Sinne HADAMARDS) bezuglich der Supremumsnormen 11. Iln und 11. llan, denn aus dem Maximumprinzip fur harmonische Funktionen folgt fur die Losung Hf des v. D. P. mit den Randwerten f die Abschatzung (0.2) IlHfllQ 5 llfllafJ . In [3] ist geze igt worden, dao das verallgemeinerte DIRICHLETsche Problem fur L = A + y und SZ bis auf eine Einschriinkung, die ihre Ursache in der FRED-11'