Eine Zeitperiode von mehr als anderthalb Jahrhunderten ist bereits vergangen, seitdem CARL FRIEDRICH GAUSS die beruhmte Methode der kleinsten Quadrate in der Ausgleichsrechnung ersonnen hat. Mehr als anderthalb Jahrhunderte bedienten sich dieser Methode viele verschiedene Fachleute. Auch heutzutage bleibt diese Methode nicht weniger aktuell, ebenso wie das klassische GAusssche (abgekurzte) Verfahren zur Auflosung h e a r e r Gleichungssysteme noch immer das beste ist (vgl. [2]). Es zeigte sich uberdies, was vom Verfasser an anderer Stelle [l] begriindet wurde, dafi der GAusssche Algorithmus, welcher offenbar eine rein algebraische Methode zur Auflosung h e a r e r Gleichungssysteme ist, zugleich einen einfachen, aber tiefen geometrischen Sinn hat. Desto merkwurdiger ist also die Vollkommenheit der GAussschen Methode.
In diesem Artikel mochte ich das geometrische Wesen der GAussschen Methode dcr kleinsten Quadrate hervorheben. Die Tatsache, daB fur die GAusssche Methode der kleinsten Quadrate eine geometrische Darstellung vorhanden ist, ist bekannt (vgl. [3]) und vom Standpunkt der modernen linearen Algebra ganz clementar. Aber das Merkwurdige der geometrischen Auffassung der GAussschen Methode der kleinsten Quadrate, und dies mochte ich betonen, ist, daB eben sie direkt zum abgekurzten Auflosungsweg fuhrt, mit anderen Worten, m m sogenannten abgekurzten GAussschen Verfahren. Zugleich folgt unmittelbar aus der geometrischen Darstellung, dafi die Methode von CHOLESKY-BANACHIEWICZ, die eigentlich mit dem sogenannten abgekurzten GAussschen Verfahren identisch ist (vgl. [4] S. 249), im Verhaltnis zu der letzten, geometrisch nicht mehr bedeutet als die Normierung der Vektoren.
Im zweiten Teil dieses Artikels wird ein Approximationsprozefi fur die GAusssche Methode der kleinsten Quadrate dargestellt. Diesen Prozefi, der auch einen sehr einfachen geometrischen Sinn erhalt, hat man, ohne zu den sogenannten Normalgleichungen uberzugehen, direkt aus den Fehlergleichungen.