Von WOLFGAXL: ROTHSTETX in Wiirzburg.
(Eingegangen a m 20. 10. 1949.) P. LELOSC; 1) hat die trntersuchunpen von HARTOGS 2) iiber die Reihen Zu,(w)z" in einer groI3en Arbeit wieder auf<genom?en. Er geht \vie Hartogs von dem superharmonischen Charakter der log 1 a,, ( w ) 1 aus. Indem er die moderne Potentialtheorie ausgiebig benutzt, kontint e r zu einer Fulle tiefliegender und praziser Aussagen. Man darf erwarten, daD ein Teil dieser Ergebnisse nicht nur fur regulare, sondern auch fur meronrorphe Funktionen gilt. Indessen scheint es nicht leicht zu sein, sie auf den1 gleichen l'ege zu gewinnen.
Im folgenden werde ich zeiqen, daI3 einige wichtige Aussagen bereits im wesentlichen aus den1 superharmonischen Charakter der Regularitatsradien ableitbar sind. Das ist insofern von Bedeutung; als auch die Meromorphieradia und die Radien der gleichmiiBigen Konverpenz einer Folpe f, (w , z ) regularer Funktionen superharnionisch sind. In der Tat gelten die Satze 3, 4 und 5 sowohl f u r solche Folgen f,,(w, z ) (Satz 4 und 5 sind in dieser Form ausgesprochen) als auch fur regdare oder nieroniorphe Funktionen, Allerdings ist die Gultigkeit von Satz 4 und 5 fur meroniorphe Funktionen keine triviale Folgs, da beim Beweis die Hilfssatze 2 und 3 benutzt werden. Man niuI3 vielmehr die in einer anderen Brbeits) angegebene Methode anwenden. Uni \.iederholungen zu vermeiden, wollen wir das hier nicht durchfiihren.
In jener Arbeit leitete niich der gleiche Gedanke, einen Beweis des Hartogsschen Satzes zu finden, der nicht nur fur regulare Funktionen brauchbar ist. Da dieser Satz ein dchtiges Ubertragiingsprinzip fur Aussagen iiber Funktionen von einer Veranderlichen auf solche von niehreren iTeriinderlichen enthalt, sollte der Beweis mijglichst elementar sein. Als einziges Hilfsmittel, das nicht der Funktionentheorie angehort, wurde ein Satz iiber superharmonkche Funktionen benutzt, der auch im folgenden eine wichtige Rolle spielt. Er lautet: I) P. LELDNC, Sur quelques problhes de la th6orie des fonctioris de deux variables 2, F. HARTOGS, Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhingiger Ver-3, W. ROTHSTEIN, Ein neuer Beweis des Hartogschen Hauptsstzes USW. Math. Z.