In einer 1965 erschienenen Arbeit von BLANC-LAPIERRE und FAURE ([I])
wurde der Zusammenhnng zwischen der Spektraldichte eines honiogenen und isotropen zufalligen Feldes auf dem Rn(n > 1) und der Spektraldichte des statioiiarcn stochastischen Prozesses, der sich als Einschrankung dieses Feldes auf die x1 -Achse ergibt, untersucht (zur Spektraltheorie dev zufalligen Felder s. [(;I). Es wurde bemerkl,, daB nicht jeder stationare ProzeB mit reellwertiger Kovarianzfuiiktion durch Einschrankung eines homogenen und isotropen Feldes erhalten -d. h. zu eineni solchen Feld fortgesetztwerden kann; als Beispiel eines Prozesses, fur den eine solche Fortsetzung nicht moglich ist, wurde der ProzeB 11 mit der Kovarianzfunktjon angegeben.
In der vorliegenden Arbeit wird nun -im Gegensatz zu [l]auf die Voraussetzung der Absolutstetigkeit des SpektralmaDes, d. h. auf die Voraussetmng der Existenz einer Spektraldichte, verzichtet. Ferner wird nicht die Einschrankung des Feldes auf die x,-Achse, sondern allgemeiner die Einschrankung auf den l'eilraum, der von den xl-, . . . ,x,-Achsen ( 1 5 rn < n) aufgespannt wird, betrachtet (wegen der vorausgesetzteii lsotropie stellt die spezielle Wahl dcs. Teilraunis keine Einschrankung der Allgemeinheit dar).
1. Nichtnegativ definite Funktionen und nichtnegative
MaBe 1.1. Es sei X eine beliebige Menge. Definition. Die auf X x X definierte komplexwertige Funktion K heiBt, izicktnegativ definit, falls €iir jede naturliche Zahl N , beliebige komplexe Zahlen aI, . . . , uN und beliebige x l , . . . , xN E X gilt.
282 Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit Es bezeichne 0, die Menge aller auf R" definierten stetigen komplexwertigen Funktionen B , fur die die durch (1.1.2) K ( z , y): =--B ( zy) ( x , y E R") definierte Funktion K nichtnegativ definit ist , und C , die Menge aller auf R , , : == [O, cm) definierten stetigen reellwertigen Funktionen R, fur die die durch t1.1.3) K ( x , y): = R ( ( xyi) (z, y E R") definierte Funktion K nichtnegativ definit ist. 1) Ferner bezeichne M" die Menge aller nichtnegativen finiten MaBe auf der a-Algebra Bn allerKoRELschen Teilmengen des R" und Mo+ die Menge aller nichtnegativen finiten MaBe auf Bo+ : = 'XI n R,+ . (1.1.4) B ( x ) = / e2(u,z)p(du) ( x E R") definiertc Abhildung .&In 3 p -+ B E D, ist bijektiv. Die Punktion B E 11, ist genau dann invariant, bezuglich Drehungen um den Koordinatenursprung und Spiegelungen am Koordinatenursprung (d. h. in der Form (1.1.5) B ( x ) == R(lxl) ( z E Rn) mit R E C, darstellbar), wenn das gemaB Satz 1 . I . 1. zu B gehorige Ma13 p invariant bezuglich dieser Transformationen (d. h. in der Form') Satz 1.1.1. (BOCHNER, [4], Kap. 4 $ 2, Theorem 2). Die durch Rfi (1.1.6) p((v:) n A') = ~( o , U ) w , ( A ) (U E R , , A E 'H" n Sy)) mit v E M,+ darstellbar) 1st. Satz 1.1.2. (SCHOENBERC, [4], Kap. 4 $ 2 , Theorem 3). Die d ~c h n ) definierte Abbildung M , , 3 Y -f R E C, i s t bijcktic. Es sei R E C, und B wie in (1.1.5). Dann besteht zwischen den geinaD Satz 1.1.1. hzw. Satz 1.1.2. zu B bzw. RgehOrigen MaBenp bzw. v der Zusammenhang ( i . l . 6 ) , ferner gilt (1.14 PU({W = v ( { O ) ) . 1 ) Insbesondere ist also C1 die Menge aller auf R,+ definierten Funktionen R, die sich in der 2) 0 , : durch w v ( 8 p ) ) = 1 normiertes LEBESCUE-MaB auf Form R ( z ) = B(z) (z E Ro+) mit einer reellwertigen Funktion B f D, darstellen lassen.