Von EUGEN HEYN in Berlin (Eingegangen am 30.7.1974) 6 1. Vorbemerkung Im folgenden sollen einige Randwertprobleme nichtlinearer und nichtstetiger Operatorgleichungen behandelt werden, die durch geeignete Funktionalrelationen charakterisiert werden konnen. Es werden hierbei Operatoren P betrachtet, fur die eine Art ,,GREENsChe Formel" gilt in folgendem Sinne : Fur jedes u E D , besteht eine Relation von der Form
Hierbei bedeutet K einen linearen Operator, a(u, v) ein Funktional (in v linear, in u nichtlinear) und (du, yv) bedeutet ein von u E D p und von einer ,,Randfunktion" yv abhangendes (in yv lineares) Funktional.
In Verallgemeinerung einer Methode von PETRYSHYN [l], die sich auf den Spezialfall der Gultigkeit einer Relation von der Form (Pu, Kv) = a(u, v) bezieht, werden im folgenden Bedingungen formuliert, die eine Erweiterungsmoglichkeit von Operatoren P zu einem Operator Po garantieren, bei dem Existenztheoreme fur die Losung bestimmter Randwertprobleme aufgestellt werden konnen. § 2. Grundlegende Betrachtungen Die im folgenden benutzte Symbolik ist angelehnt an die in [2] und [3] verwendete Bezeichnungsweise. Wir legen unseren Betrachtungen zugrunde zwei reflexive BANACHraUme % und c %. Diese Raume seien reell.Die Einbettung B1 c 23 von Bi in B sei dicht und stetig, das heifit es gelte lxia CIxlBi fur jedes 5 E Bi. P sei ein gegebener (nichtlinearer) Operator, der auf einer Teilmenge D, von Bl definiert ist als Abbildung von D, in den adjungierten Raum %*. K sei ein linearer Operator, der den in dichten Definitionsbereich DK von K in ' 23 abbildet. a(u, v) sei ein Funktional, das definjert ist fur jedes u aus einem Teilgebiet G c (2.0)
D p c G ,
und fur jedes v E mi. Es gelte: