Über die Erhaltung der Stabilität J-positiver Operatoren bei J-positiven und J-negativen Störungen
✍ Scribed by Peter Jonas
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1975
- Tongue
- English
- Weight
- 443 KB
- Volume
- 65
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Einleitung
Es sei x ein J-Raum, d. h. ein HILBERT-Raum, in dem neben dem definiten Skalarprodukt (. , *) noch ein indefinites durch [z, y] = (Jx, y) gegeben ist, wobei
Spektraltheorie J-positiver J-selbstadjungierter*) Operatoren (allgemeiner : definisierbarer Operatoren) ist von H. LANGER in [3] entwickelt worden. Ein J-positiver J-selbstadjungierter Operator A hat genau dann eine beschrinkte Eigenspektralfunktion, wenn die Gleichung i = i A z (der sich z. B. die linearen HAMILToNschen Gleichungen unterordnen, vgl. 2.4) nur beschriinkte Losungen hat, also wenn die Nullosung stabil ist. I n diesem Fall heiI3t A stabil (vgl. Definition 2.1 und Satz 2.1). Die vorliegende Untersuchung kt durch die folgende Vermutung von €1. LAN-CER angeregt worden : Die StabilitLt eines beschrinkten J-positiven Operators zieht stets die Stabilitat aller im Sinne von [. , -1 groDeren Operatoren nach sich. Diese Behauptung ist in einem Raum vom Typ ITx (d. h. fur dim PX < 00 oder dim Q X < m) offenbar richtjg. Ebenso gilt sie, wie man leicht sieht (Beweis zu Folgerung 2.3) in einem beliebigen J-Raum, wenn das Spektrum des Operators bei Null eine Lucke hat. Da13 diese Aussage aber nicht generell richtig ist, zeigt ein hier angegebenes Gegenbeispiel (vgl. 2.2). Wir beweisen hinreichende und notwendige Bedingungen dafiir, daI3 aus der Stabilitiit von A (nicht notwendig beschrankt) die Stabilitit aller (oder einer gewissen Teilmenge der) J-positiven J-selbstadjungierten Operatoren folgt, die iin Sinne von [. , a] groSer oder kleiner als A sind (Siitze 2.2 und 2.3). Es erweist sich, dalj die obige Vermutung nur fur die Operatoren richtig ist, deren Spektrum bei Null eine Lucke hat (Folgerung 2.3). 5 1. Hilfsbetrachtungen 1.1. Der kompIexe J-Raum der Paare komplexer Zahlen, versehen mit dern definiten Skalarprodukt ((::), (ii)): = c,d, + c2d2 und dem indefiniten Ska-*) Wird bei einer Bezeichnung ein ,,J" vorangestellt, dann ist diese beziiglich [ a , .] zu verstehen, andernfalls beziiglich ( a , -).