Über die Eindeutigkeit der CARATHEODORYschen Erweiterung eines Maßes

✍ Scribed by W. Rinow

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1969
• Tongue: English
• Weight: 322 KB
• Volume: 42
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19690420409

✦ Synopsis

Hinreichende Bedingungen fur die Eindeutigkeit der CARATHEODORYschen oder BoRELschen Erweiterung eines MaBes sind bekannt und in die Lehrbuchliteratur eingegangen. Es findet sich aber in der mir zuganglich gewesenen Literatur keine zugleich notwendige und hinreichende Bedingung. Eine solche wird in dieser Note formuliert und bewiesenl). 9 sei ein Korper von Teilmengen der Grundmenge N im Sinne HAUS-DORFFS und pl eine auf 9 definierte positive und a-additive Mengenfunktion. lDas zu pl/S gehorige aul3ere MaB sei p l a . bezeichne den a-Mengenkorper tier pl-meabaren Mengen, me den Mengenkorper der pmel3baren Mengen endlichen MaBes, ' 31 das cr-Ideal der y-Nullmengen und !Xl das cr-Ideal der lokalen pl-Nullmengen (also A !Ytl genau dann, wenn A n G E 3 fur alle (7 5 met,). Die CARnTHEODORYsChe Erweiterung von pl auf m werde wieder mit pl bezeichnet . Eine Teilmenge A von LV heil3e 9;-singular, wenn A darstellbar ist als Vereinigung hochstens abzlihlbar vieler lokaler p-Nullmengen N mit folgender Eigenschaft : ( E ) Aus C € 9 und 9 ; ( C n N ) = 00 folgt pl(C -N ) = 00. ]Die Menge aller 9;-singularen Mengen sei !Yts. Eine Teilmenge A von M heiBe rp-regular, wenn A keine pl-singulare Teilmeiige unendlichen MaBes enthklt. Die Menge aller cp-regularen, y-meBbaren Mengen sei 'jJXr. 1. ' 31 G 91s G !Xl s m. 2 . 5331, s mr s m.

3. !X,nSJX,. =%. 4. "lS und %Rr sind o-Ideale von ' %TI. 1) Dip Ergebnisse dieser Arbeit wurden vorgetragen auf der Jahrestagung der Mathernatisclicn Gesellschaft der DDR im Februar 1968.