Sei S clas Spektruni eines diskreten HENsELschen Bewertungsringes gleicher Charakterist ik mit algebraisch abgeschlossenem Restklassenkorper. M'ir bezeichnen niit s den nbgeschlossenen Punkt und mit 7 den nllgemeinen Punkt von S . (8, s. 97) nennen wir im folgenden ein Tripel. I n der vorliegenden Arbeit betrachten wir Kurven f : X -8 deren spezielle Faser X , reduziert ist. N' ir setzen ferner voraus, daB X regullir sei. Sei x : I ?+&! die formale verselle Deform a t' ion von S,. Der kritische Ort von ?t ist ein Divisor 2) in A. Die Familie f definiert einen Morphismue g : Sn +A. Das Schnittprodukt P, * B nennen wir die Diskriniinante B ( S ) von X . Unser Hauptresultat ist die Berechnung von 2 ) ( X ) .
a m =x(X,) -X(X,) + a ( X ) .
Dabei bezeirhnet x die EuLER-POINCARE-Charnkteristik im Sinne der Etalkoliomologie und .(X) eine Zahl, die niit der hoheren Verzweigung zusaniinenhangt .
Icli iiochte an clieser Stelle M. RAPOPORT danken, der wesentliche Ideen zu dieser Arbeit beigesteuert hat.
1. Verselle D eformationen algebraischer Kurven
Sei So ein Schema iiber einem algebraisch abgeschlossenen Korper k. Sei A die Kategorie der lokalen ARTINsChn Schemata iiber k, die k als Restklassenkorper enthalten. Dxo: A -Ens, sei der Funktor der Deformationen von X o .
X, X,+
D,(T)
= { X f, T flach, X o Hjer bezeichnet o den abgeschlossenen Punkt von T € A . 1.1. Definition. E ~T L flacher Morphisrnus f : Z + H he@ im Yunkte nCH versell, u e m der kasLonische Xorphismus Spf PB,$ +Df-,(z) formal glatt. ist.
1.2. Satz. Sei H dns HILBERTscherna aller rein eindimerL3ionalen rtbyenchloaseiien Unter.ychema de.9 Pi. Sei f : 2 -+ H die universelle Familie. Dann ist f in jedem Pmkl VQYSPI1.