Wir beziehen uns auf eine Abhandlung von G. E. H. REUTER [l], in der u. a. die Differentialgleichung (1) auf die Beschranktheit ihrer Losungen hin untersucht wird. Dabei verfolgen wir das Ziel, die Resultate REUTERS auf einem anderen Weg (der sich aus unserer Mitteilung [2] ergibt) unter noch allgemeineren Voraussetzungen uber die Funktionen F ( y ) und g(x) herzuleiten. Zunachst skizzieren wir in grol3en Ziigen die REnTERschen Uberlegungen.
Diejenigen Differentialgleichungen (l), deren Losungen z ( t ) fur t > to zwei Ungleichungen der Art
befriedigen (wobei die Schranken B, und B, fur 0 < k 5 1 nur von den Funktionen F ( y ) , g(x), p ( t ) abhangen, w&hrend to auch von den Losungen z ( t ) abhangig ist), mogen die Klasse B bilden. Dann wird der Satz ausgesprochen: Die Gleichung (1) gehort zur Klasse B, wenn a) p ( t ) stetig und beschrunkt ist, b) F(y) stetig ist und lim F ( y )sgn y = 00, c) g (%) stetig ist und lim g (z)sgn x = 00. Die Bedingungen b) und c ) werden aber beim Beweis des Satzes nicht vol1 ausgenutzt; dieser stutzt sich nur darauf, daB die Funktionen F ( y ) * sgn y und g(z)sgn x fur groBe Betrage ihrer unabhangigen Variablen vorgeschriebene Werte uberschreiten : I l l + -1x1 +m (3) P ( y ) . s g n y > 2 . A 1 fur I y l 2b,, A,> Ip(t)l;
(4) g ( z ) . s g n x > 2 -( A l + A,+ 1) fur l x 1 2 a l , A , > lF(y)l fur IyIIb,.
Der Beweis besteht darin, daB (unter der Voraussetzung 0 < k 5 1) in der zy-Phasenebene (y = 2) ein doppelpunktfreier, geschlossener Weg W (der das Gebiet D abgrenzt) mit folgenden Eigenschaften entworfen wird :