flber die Anzahl dcr Spitzen einiger arithmetischer Untergruppcn unitarer Gruppen Dem 30. Jahrestag der DDR gewidmt Von "HOBUS ZINK in Berlin (Eingegangen am 12.5.1978)
Sei K ein imaginar quadratischer Zahlkorper und A der Ring der ganzen Elemente von K. Die komplexe Konjugation bezeichnen wir mit a I+ ii. Unter einem Gitter verstehen wir im folgenden einen projektiven A-Modul E versehen mit einer hermiteschen Form @ : E x E + A , @(ax, y) = a@(x, y), @(x, y) = @(y, x), x, y E E , a E A . Wenn wir auf E eine hermitesche Form fixiert haben, so setzen wir zur Abkurzung @(x, y) = (xy). U ( @ ) bezeichne die Gruppe der Automorphismen von V = E @ Q, die die Form @ invariant lassen und SU(@) die Untergruppe der Automorphismen mit der Determinante 1. r c U ( @ ) sei die arithmetische Untergruppe der Transformationen die E a d sich abbilden.
Sei P c U ( @ ) eine minimale parabolische Untergruppe. Die Menge der Doppelnebenklassen I ' \ U ( @ ) / P ist endlich. Ihre Elemente nennen wir die Spitzen von r.
Diese Definition ist eine natiirliche Verallgemeinerung des Begriffs der Spitzen Fuchsscher Gruppen (siehe [l]). Sei h die Klassenzahl von K. Wir zeigen, daB die Anzahl der Spitzen von r gleich ht ist, wenn @ eine hermitesche Form der Signatur (r, 8 ) ist, wobei Irs] = 1 und t = min (7,s). Herr J.-M. FEUSTEL hat diesen Satz fur den Fall E = AS mit der hermiteschen Form xlal + xzBz -x3a3 bewiesen. Ich mochte ihm an dieser Stelle fur die Anregung eu dieser Arbeit danken.