Über den Rand von Parallelkörpern

✍ Scribed by Martin Kneser

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1951
• Tongue: English
• Weight: 475 KB
• Volume: 5
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19510050309

✦ Synopsis

Von TIN KNESB~R in Berlin.

(Eingegangen am 30.9.1960.) Es sei R ein n-dimensionaler Riemannscher Raum mit dem Bogenelement d8 = 12 gik dxi axk. Als Abstand e (x, y) zweier Punkte x und y aus R bezeichnen wir wie ublich die untere Grenze der Llingen 2 ( f) = d8 aller x und y verbindenden Kurven €. Damit ist R ein metrischer Raum. 1st weiter K eine Menge in R, die wir ohne Einschriinkung als abgeschlossen annehmen konnen, und h.> 0 , so bezeichnen wir rnit K h den Parallelkorper im Abstand h zu K , d. h. die Menge der Punkte x, die von K einen Abstand e(x, K ) 5 h haben. Dann ist bekannt, daB der Rand von Kh das MaB Null hatz). Hier sol1 gezeigt werden, dal3 K h , falls es kompakt ist, sogar eine endliche Oberflache x(h) hat. Es wird fiir hin-C reichend kleine h die Ungleichung x (h)rnit einer nur von der Ausdehnung h von K abhangenden Konstanten C bewiesen und fur den euklidischen Raum eine solche Konstante angegeben. SchlieBlich wird fur den euklidischen Raum bewiesen, daB sogar lim hx(h) = 0 ist; dieser letzte Beweis macht wesentlichen Gebrauch von Ahnlichkeitseigenschaften der Figuren im euklidischen Raum und 1iiBt sich daher nicht so einfach iibertragen. wie das erste. AuBer der schon erwiihnten Definition des Parallelkorpers K h fiihren wir noch folgende Bezeichnungen ein: 1st 0 a < b , 90 sei K,,, b die Menge der Punkte aus R , deren Abstand von K zwar $6, aber > a bt. Mit S, bezeichnen wir die Kugel rnit dem Radius r , rnit ti'a, b die Kugelschale rnit dem inneren Radius a und dem iiuBeren 6 . Dann gelten offenbar die Beziehungen s i. k t h+O ( K h ) k = K h f k , (&)h = S r f h , ( K h ) a , b = K h + a , h + b , (8r)a. b = # r + a , r + b . ( 1) Von dem MaB m in R setzen wir voraus, daB es ein MaB im Sinne von KOL-MOOOROFF rnit dem Einheitswiirfel des n-dimensionalen euklidischen Raumes als l) Dim. Univ. Berlin 1950; Referenten: Prof. Dr. ERHARD SCJZMIDT, Prof. Dr. KURT SOBRODER. *) Einen fiir beliebige Riemamche Riiume giiltigen Beweis findet man bei E. SCHMIDT. Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrimhe Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und nichteuklidiechen Geometrie. I. Math. Nachr., Berlin I, 81-166 (1948) auf Seite 94f.