Über den Konvergenzbereich von Laplace-Integralen mit komplexem Integrationsweg
✍ Scribed by Gustav Doetsch
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1958
- Tongue
- English
- Weight
- 310 KB
- Volume
- 18
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Von GUSTAV DOETSCH in Freiburg i. B. (Eingegangen am 29.8.1957) 1. Das gewohnliche Laplace-Integral wird uber die reelle Achse von Q bls 00 erstreckt, sein Konvergenzbereicb ist eine rechte Halbebene. I n warsohiedenen Gebieten treten auch Laplace-Integrale auf, deren Weg eine In8 Unendliche laufende Kurve J e -a ' F ( t ) cit = f ( s ) . 1ht Konvergenzbereich hat im allgemeinen eine komplizierte Gestalt, die Yon der Kurve und der Funktion F(t) abhangtl). Mit solchen Integralen utld den entsprechenden Dirichletschen Reihen in der komplexen Ebene ist : 5 (1 1 bd denen die 1, komplex sind, hat sich zuerst W. SCHNEE~) beschiiftigt, jedoch dar Kurve E bzw. den dn solche Einschrankungen auferlegt, dal3 der Kon-Vnrgenzbereich wieder eine Halbebene ist. Zu diesem Zweck wird die Kurve Drlt t = x + i y in der Form y = f ( z ) gegeben, wobei f ( z ) als eindeutig, rlctig und abteilungsweise differenzierbar, ferner lim f z=O, (4 I f ' ( % ) / < 8" (z>X) 2-2 .rJ IUt jedes 6 > 1 vorausgesetzt wird. (Das bedeutet, dal3 die Kurve fur grol3e z In einem beliebig kleinen Winkelraum um die reelle Achse verlauft und keine blrrken Steigungen besitzt.) Bei Reihen lauten die entsprechenden Voraus-Wtzungen fiir die Exponenten 1 , = + id;: l ) Wenn die Kurve endliche Lange hat, iet der Konvergenzbereich die ganze e-Ebene.
-Eine Kurve von unendlicher Lange kijnnte auch in einem beechrankten Gebiet der Ebcne verbleiben. Solche Kurven ziehen wir aber nioht in Betracht.