Über das Radikal einer Halbgruppe. Herrn Professor Dr. ALEXANDER DONIPHAN WALLACE Zum 60. Geburtstag gewidmet
✍ Scribed by Heinrich Seidel
- Book ID
- 102486807
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1965
- Tongue
- English
- Weight
- 478 KB
- Volume
- 29
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Die Darstellungen einer Halbgruppe durch (eindeutige) Abbildungen einer Menge in sich gestatten die Definition eines ,,JAcossoN-Rads", und zwar als Durchschnitt der zu den irreduziblen Darstellungen gehorigen Kongruenzrelationen der Halbgruppe. Die Grundzuge und wichtige Anwendungen dieser Theorie sind von H.-J. HOEHNKE in den Arbeiten [I, 2, 31 dargelegt worden. In dieser Note wird eine innere Charakterisierung des Radikals gegeben (Abschnitt 3), die es ermoglicht, die Kongruenz rad S a.llein aus der (inneren) Struktur der Halbgruppe S zu bestimmen. llhnlich \vie in der Ringtheorie gelingt dies unter Verwendung des Begriffes einer modularen Rechtskongruenz. Dabei ergibt sich jedoch durch den Fortfall der zweiten Verknupfung (Addition) eine wesentlich andere Situation als im Ringfall. Das kommt schon darin zum Ausdruck, daS in Halbgruppen mit Nullelement das sogenannte Nullradikal (eine ausgezeichnete Kongruenzklasse des Radikals) mit dem bekannten Nilradikal ubereinstimmt. In Abschnitt 1 werden modulare Rechtskongruenzen betrachtet. Abschnitt 2 gibt darauf aufbauend eine Darstellung des Radikals als Durchschnitt gewisser modularer Rechtskongruenzen. Abschnitt 4 befalit sich mit der Klasse der radikalfreien Halbgruppen. 1. Im folgenden bezeichne S stets eine (multiplikative) Halbgruppe. Unter XI verstehen wir die aus S durch Adjunktion eines Einselementes 1 hervorgehende Halbgruppe. Relationen in S schreiben wir meist als Teilmengen des (mengentheoretischen) Produktes S x S. Sei a ein Element aus S. Eine Rechtskongruenz e heifit modular bez.
ci, wenn (8, a s ) E e fur alle 8 E S gilt. Der Durohschnitt bez. u modularer Rechtskongruenzen ist wiederum modular bez. a, und es gibt eine kleinste bez. u modulare Rechtskongruenz p (a). Oflenbar ist ,u (a) die von allen Paaren der Form (s, as) erzeugte Rechtskongruenz.