Let K be an algebraic number field with non-zero :, ; # K. Siegel showed in 1929 that there are only finitely many units = 1 , = 2 in K which satisfy the unit equation := 1 +;= 2 =1. In this article we present a new algorithm for solving unit equations which utilizes methods from the geometry of numbers. For the fist time unit equations in number fields up to unit rank 10 and with more than 100,000 solutions are solved. By applying our algorithm to index form equations we compute all power integral bases in the cyclotomic number fields up to degree 12 and in Q(`
2000 Academic Press In dieser Arbeit wird das Lo sen von Einheiten-und Indexformgleichungen in algebraischen Zahlko rpern behandelt. Beiden Problemstellungen ist gemein, da? sie jeweils nur endlich viele Lo sungen besitzen. Algorithmen zur vollsta ndigen Berechnung dieser Lo sungen wurden mo glich durch Ergebnisse von A. Baker zu Linearformen in den Logarithmen algebraischer Zahlen. Das Lo sen einer Einheitengleichung besteht im wesentlichen aus drei Schritten. Zuerst leitet man anhand der Resultate Bakers gro?e obere Schranken fu r die Lo sungen her. Diese Schranken werden im zweiten Schritt des Verfahrens mit dem LLL-Algorithmus reduziert. Im letzten Schritt, welcher die weitaus meiste Rechenzeit beansprucht, mu ssen all unterhalb der Schranken liegenden Einheiten daraufhin u berpru ft werden, ob sie Lo sungen der Einheitengleichung sind. Wir beschrieben im ersten Abschnitt dieser Arbeit ein neues Verfahren, mit dem diese U berpru fung effizienter als bislang durchgefu hrt werden kann. Mit dem Verfahren, welches Methoden aus der Geometrie der Zahlen benutzt, lo sten wir Einheitengleichungen in Zahlko rpern bis hin zum Einheitenrang 10. Als Beispiel behandeln wir hier das Lo sen einer Einheitengleichung in Q(`1 9 ).