I n einer grundlegenden Arbeit entwickelte 0. ZARISKI in [4] unter Verwendung von Bewertungen eine Theorie der birationalen Beziehungen zwischen zwei projektiven Varietaten V und W . Dabei wird vorausgesetzt, daS V und W uber einem gemeinsamen Grundkorper k definiert und in geeignete projektive Raume eingebettet sind. Sowohl eine projektive als auch eine affine Varietat uber einem Grundkorper k sind durch ihren Koordinatenring bestimrnt und die , .geometrischen" Eigenschaften der Variet a t m kann man als Eigenschaften der Koordinatenringe formulieren. Bekartntlich sind viele derartige ,,geometrische" Aussagen nicht an die Voraussetzung gebunden, daB der Ring endlich uber einem Korper erzeugt ist, sondern gelten unter allgemeinen Voraussetzungen. I n dieser Arbeit unternehmen wir den Versuch einer derartigen Verallgemeinerung von Satzen aus [4]. Dabei gilt ein Teil der Behauptungen fur beliebige noethersche Integritutsbereiche, wiihrend wir andere nur fur gewisse Gesamtheiten solcher Ringe, sogenannte Bannigfaltigkeiten, beweisen konnen. I n einer zweiten uncl dritten Arbeit gehen wir speziell auf monoidal verwandte Oberringe bzw. derartige Mannigfaltigkeiten ein.
Auf der Grundlage der Ergebnisse uber noethersche Integritatsbereiche definieren wir fur zwei Primideale p , q eines noetherschen Integritatsbereiches mit p c q eine V'ielfachheit von q bezuglich p . Dabei wird vorausgesetzt, daf3 der Quotientenring von A bzgl. q reguldr ist.
1. Allgemeine Aussagen und Definitionen
Definition 1.1. Zwei noethersche Integritiitsbereiche A und B heiSen vertcandt, wenn sie den gleidien Quotientenkorper K besitzen. Fur verwaridte Integritatsbereiche A , B heiIjen die Primideale p c A und q c B bencxchbart, wenn ein Bewertungsring R, von K existiert, der die Ringe