Zur Zerlegung von Kreisüberdeckungen(mathop mathfrak{U}limits^{cdotcdot} )(r, 1) der Ebene in zwei Kreispackungen(mathfrak{P})(r, 1) und(mathfrak{Q})(r)
✍ Scribed by Michael Schmitz
- Book ID
- 104654607
- Publisher
- Springer
- Year
- 1989
- Tongue
- English
- Weight
- 761 KB
- Volume
- 31
- Category
- Article
- ISSN
- 0046-5755
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✦ Synopsis
Unter einem Kreis K(M,r) der euklidischen Ebene Emit dem Radius re R,r > 0, und dem Mittelpunkt Ms E verstehen wir die Punktmenge K(M,r) .'= {X: Xe E ^ IMXI <<, r}. Eine abz/ihlbar unendliche Menge {K(M i, ri) } yon Kreisen in E bezeichnen wir als eine Kreisanordnung.
Nach [1] geben wir die folgenden Definitionen an: Eine Kreisanordnung {K(Mi, ri) } bildet genau dann eine Kreispackung in E, wenn jeder Punkt von E in das Innere yon h6chstens einem Kreis aus {K(Mi, r~)} geh6rt. Kreispackungen, die nur Kreise mit den Radien r i e {sl, s2,... , s,: 0 < sl < s 2 < .-. < sn} enthalten und in denen fiir jedes je {1,2 ..... n} wenigstens ein Kreis mit dem Radius sj vorkommt, bezeichnen wir im folgenden mit ~(s 1, s2,..., s,) bzw. ~(sl, s2,..., s,).
Eine Kreispackung ~(sl,s 2 ..... s,) heigt genau dann gesgttigt, wenn wir in den yon den Kreisen aus ~(sl,s2,..., s,) freigelassenen Teil der Ebene E keinen weiteren Kreis K(M, sl) einlagern k6nnen, so dab ~(s t, s2, . . . , s,) u K( M, sl ) eine Packung bildet.
Eine Kreisanordnung {K(M~, r,)} bildet genau dann eine Kreisiiberdeckung ohne verdeckte Kreise, wenn jeder Punkt yon E zu wenigstens einem Kreis aus {K(M,,r,)} geh6rt und wenn jeder Kreis aus {K(Mi, ri)} wenigstens einen Punkt enth/ilt, der zu keinem weiteren Kreis aus {K(M~, r,)} geh6rt. Kreisiiberdeckungen ohne verdeckte Kreise, die nur Kreise der Radien r,E{sl,s 2 .... ,s,:O<s~ <s 2<..-<s.} enthalten, werden wir mit fI(Sl,S 2 ..... s,) bezeichnen. Augerdem werden wir im weiteren unter Kreisiiberdeckungen stets Kreisiiberdeckungen ohne verdeckte Kreise verstehen. Nach [4] nennen wir eine Kreisiiberdeckung l[ genau dann in zwei Kreispackungen ~ und ~ zerlegbar, wenn sich die Kreise aus lj so in zwei Teilmengen einteilen lassen, dab jede Teilmenge fiir sich eine Kreispackung bildet.
In dieser Arbeit wollen wir alle diejenigen Kreisiiberdeckungen i~(r, 1), 0 < r < 1, bestimmen, die sich in zwei Kreispackungen ~(r, 1) und ~(r) zerlegen lassen. Zur L6sung dieses Problems werden wir notwendige und hinreichende Bedingungen dafiir angeben, dab es zu einer Kreispackung ~(r, 1), 0 < r < 1, eine weitere Kreispackung t2~(r) gibt, die zusammen mit ~(r, 1) die Ebene iiberdeckt. Analoge Probleme wurden bereits in [5], [6], [7] und [8] behandelt.