Zur Trennung konvexer Mengen mittels linearer Operatoren
✍ Scribed by Karl-Heinz Elster; Reinhard Nehse
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1976
- Tongue
- English
- Weight
- 507 KB
- Volume
- 71
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
TrennungssBtze fur konvexe Mengen werden soit liingerer Zeit mit Erfolg in verschiedenen mathematischen Dieziplinen verwendet, zum Beispiel in der Approximat.ionstheorie und in der Theorie der nichtlinearen Optimierung. -4llerdmga wurden dabei Probleme der Vcktoroptimierung gesondert behandelt, und zwar unter anderem deshalb, wcil die bekannten Trennungsaussagen nur eine ,,'l'rennung niittels linearer Funktionale:' beinhalten.
I n der vorliegenden Arbeit gebeii wir Aussagen an, die eine ,,Trennung mittels linearer Operatoren" zum Inhslt haben. Die Beweise werden in Analogie zu den Methoden beim Beweis der klassischen Trennungsaussagen gefuhrt, indem man von einer hinreichend allgemeinen Fassung des Satzes von HAHN-BANACH ausgeht und einen sogenanntsn Distanzoperator benutzt. Dnbei betrachten wir Operatoren a19 eindeutige Abbiltiungen, dio auf einer (nicht notwendig echten) nichtleeren Teilmenge C eines reellen 'ektornumes E definiert sind und in einen reellen halbgeordneten Vektorraum F ahbilden.
Die klassischen Trennungsaussa.gen (vergleiche Zuni Beispiel KOTHE
[8]) wie auch Ergebnisse von BRECKNER [4] und R,IEDL [12] ergeben sich als Spezialfalle.
Die Anwendung dcr hier ent.wickelten Theorie auf 0pt.imierunpprobleme wird in [lo] behandelt.
2. Grundbegriffe
\Vir stellen zuniiclist einige Begriffe zusammen, die itn folgenden benotigt werden (vergleiche diuu i ~u c l i [ 1 1 3 und [l.i]). Die nachfolgenden Unteruuchungen beziehen sich stets uuf reelle 'cktorrii.unie. Definition 1. Eine Teilmenge H eines halbgeordncten Vekt.orraumes F heiM bedingt vollstand.ig, wenn fur jede nicbhtleere Teilnienge von H , dio in F cine obere (untere) Schranke besitzt, in H das Supremum (Infimum) existiert. Man sieht leicht, da.B ein gerichteter bedingt. vollstanhger Vektorraum ein bedingt vollstandiger Vektorverbund 111 ist.
nuqs-vollstandiyer J'ektorverband" [ 1 I].