ZUR TOPOLOGIE DER PROJEKTIVEN EBENEN UBER REELLEN DIVISIONSALGEBREN l. EINLEITUNG Das Ziel dieser Arbeit ist der Beweis des folgenden Satzes: SATZ. AlIe Punktriiume yon projektiven Ebenen iiber reellen Divisionsalgebren gleieher endlieher Dimension sind zueinander hom6omorph. Oberdies is{ jede Punktreihe einer solchen Ebene genauso im Punktraum eingebettet wie im klassischen Fall. Die betrachteten Divisionsalgebren sind nicht notwendig assoziativ. Wir werden den Beweis des Satzes am Ende der Arbeit im Abschnitt 4 ffihren. Die ffir den Beweis benStigten ~berlegungen werden vorwiegend homotopietheoretischer Natur sein. Da der Begriff einer Divisionsalgebrenebene selbstdual ist, gilt auch die duale Aussage des Satzes.
Ist eine reelle Divisionsalgebra endlichdimensional, so hat sie bekanntlich die Dimension 1, 2, 4, oder 8 (s. z.B. Milnor [14], Cor. 1 oder Hilton [11], Thm. 5.17, S. 79). Eine reelle Divisionsalgebra der Dimension 1 oder 2 ist zu den reellen Zahlen ~ bzw. zu den komplexen Zahlen C isomorph (s. Salzmann-LSwen [20], Satz 14.4.9, S. 255). Dagegen gibt es ausser den klassischen Beispielen der Quaternionen H und der Oktaven © noch weitere Beispiele hierzu nicht isomorpher Divisionsalgebren der Dimension 4 und 8, die verschiedene nicht isomorphe Ebenen koordinatisieren (s. Kuz'min [13] und H~ihl [10]). Eine vollstfindige Klassifikation s~imtlicher reeller Divisionsalgebren dieser Dimensionen ist meines Wissens nicht bekannt~ Die Tatsache, dass eine Ebene sich tiber einer reellen Divisionsalgebra koordinatisieren 1/isst, bedeutet eine Einschrfinkung ffir diese Geometrie. Mit dem Satz yon Skornjakov (s. Salzmann [18], Thm. 7.15) und der Beschreibung yon TernfirkSrpern mit assoziativer Addition bei Salzmann [18], 7.23, kSnnen wir reelle Divisionsalgebrenebenen folgendermassen charakterisieren: Ebenen, die sich mit reellen endlichdimensionalen Divisionsalgebren koordinatisieren lassen, sind genau die topologischen projektiven Ebenen mit hausdorffschem Geradenraum und hausdorffschem, lokalkompaktem zusammenMngendem Punktraum vom Lenz-Typ mindestens V.
Dass der Punktraum einer projektiven Ebene ohne eine geometrische Zusatzvoraussetzung zu den klassischen Beispielen homSomorph ist -unter der Voraussetzung, dass ein zugehSriger Koordinatenbereich die Dimension