Das It,erationsrerfahren (,,Metliode der sukzessiven Approximationen ") darf man zu den wirksamsten Methoden der Mathematik zahlen. Nicht nur, daB sich zahlreiche Esistenz-und Eindeutigkeitsfragen mit seiner Hilfe auf eine elegante und durchsichtige Weise beantworten lassen : es stellt iiberdies eine konstruktive, init einer Fehlerabschatzung verbundene Methode dar, die sich mit den Mitteln der praktischen Mathematik fast ininier a.uch numeriscli verw-irklichen 1aBt. Da das Verfaliren in einer standigen Wiederholung immer desselben Rechenprozesses besteht, ist es hezonders geeignet fur Rechnungen, die durch ungescli ulte Hilfskrafte oder durch Reuhenautomaten susgefiihrt werden sollen . Bei der hohen Rechengeschwindigkeit der modernen Maschinen spielt aucli die Schnelligkeit der Konvergenz des Iterationsprozesses keine entscheidende Rolle inehr.
Entsprechend der Bedeutung des Verfahrens ist die Literlttur, in der iterative Prozesse angewandt. oder Zuni Gegenstand der Untersuchung gemacht werden, fast unuberselibar geworden. Dennocli mu13 nian eine eigentumliclie Diskrepanz fest,stellen. Einerseits werden gewiese klassische Problenie der Analysis in der Sprache der Funktionalanalysis bis an die Grenze des Moglichen verallgemeinert und in dieser abstrakten Form abgehandelt, andererseits haben die so gewonnenen Erkenntnisse i n die Lehrbuchliteratur hisher nur wenig Eingang gefunden.
So wird z. B. in allen mir bekannten Lehrbiichern der Differentid-und Integralrechnung die Tlieorie der iiiipliziten Funktionen nitoh der klassisehen, letzten Endes auf den Zwischenwertsntz zuruckgehenden Methode behandelt, wahrend das in Q 6 dargestellte Verfahren sicher nicht kornpliziert.er, dariiber hinn.us aber konstrnktiv und numeriscli realisierhar ist. Oder, urn ein Beispiel aus der praktisclien Mathema>tik zii nennen : in den Lehrhuchern (z. 13. [9]) wird bei der Behandlung linearer Gleicliungss~sterrie durch Iteration fur die einzelnen Konvergenzkriterien jeweils ein vollstiindiger und auf den ersten Blicl; verschiedenartiger Beweis gegeben, wiilirend sie in 2 als einfache Spezinlisierungen eines umfa ssenden und leicht beweisbaren Satzes erscheinen.
Der Grund fur die genannte Diskrepanz diirfte nicht nur darin zu suclien sein, darj viele der Originalarbeiten (z. B. in1 slawischen Schrifttum) schwer zuglnglich sind, sondern auch darin, da,R ihre Lektiire fur den lediglich an den Math. Knchr. 1952, Rd. 8.