Iron HELMUT PACHALE in Berlin.
(Eingegangen am 27. 12.1949.)
Es wird die Menge der Zahlenfolgen f ( f J , f ( f 2 ) , . . . betrachtet, wo f l , f l , . . . eine wahrend der gesamten Untersuchung festgehaltene Folge von Elernentcn aus einem Banachschen Raum darstellt und fsamtliche auf diesem Raum definierten linearen Funktionale durchlauft. Diese Menge wird verglichen niit Menpen von Zghlenfolgen, die einen bestimmten Grenzexponenten besitzen. Zu diesem Zweck werden nach Einfiihrung der Bezeichnungen und Definitionen ( J 1) in J 2 zuniichst drei naheliegende Hilfssiitze iiber Grenzexponenten von Zahlenfolgen bswiesen, wahrend anschliel3end Beziehungen zwischen Zahlen-Folgen mit vorgegebenen Grenzexponenten und der Menge der Zahlenfolgen { f( f v ) } hergeleitet werden. $ 3 bringt Aussagen uber Elementfolgen der Form {a, f Y } , wo die LY, komplexe Zahlen bedeuten. I n J 4 werden eine hinreichende und eine notwendige Bedingung fur die Konvergenz einer Reihe der Form 2 c, f, angegeben (cv komplexe Zahlen). Die gewonnenen Resultate werden dann in $ 5 auf Biorthogonalsysteme angeuandt. W v = 1 8 1. Bezeichnungen und Definitionen. 1 . R a u m e , O p e r a t o r e n u n d F u n k t i o n a l e . 1. Wir legen unserer Untersuchung einen koniplexen Banachschen Raum 23 ([112), S. 53) zugrunde, welcher durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet sei : a. 8 ist .ein h e a r e r Vektorraum. b. Es existiert ein fur alle Elemente f a u s B definiertes Funktiona18), die Norm von f (in Zeichen: Ill), welches folgenden Bedingungen geniigt: a. 1 0 1 = 0,1 f I > 0 fur f + 0. (Hierbei bedeutet 0 das Nullelement aus 8, d. h. es gilt f + 0 = f fur alle f aus %.