✍ Scribed by S. Schmerling; J. Peil
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Es sei (X, Y ) eine zweidimemionale, stetige ZufallsgroDe mit einer gleichmiiDig stetigen Dichtefunktion f(z, y). Die Marginaldichte f J z ) sei positiv fur alle x aus einem beschriinkten Bereich D der reellen x-Achse. Weiter sei vorausgesetzt, daI3 dieErwartungswerte vonX und von Y existieren. Dannexistiert auch der bedingte E r war tungsw ert fur alle xE D . Man bezeichnet r(z) als Regression der ZufalhgroBe Y auf die Zufallsgroh X. Bei praktischen Problemen ist im allgemeinen f ( z , y) unbekannt. Mit Hilfe einer Schiitzung f ( x , y) von f(z, y), die aus unabhiingigen Beobachtungswerten (z,, yi), (i= 1, . . . , n) der ZufallsgroSe (X, Y ) gewonnen wird, kann eine SchLtzung i(x) der Regression r(x) nach Gleichung (1) ermittelt werden. i ( s ) wird als empirische Regression bezeichnet 2. Bisher liegen in der Literatur einige theoretische lirbeiten vor, die sich mit der Ermittlung und den Eigenschaften vori f(.r) beschaftigen (vgl. etwa NADARAJA, 1965 und ROSENBLATT, 1969). Bei konkreten praktischen Regressionsaufgaben bevorzugt man gewohnlich gegenuber der empirischen Regression eine andere Schittzung (vgl. KENDALL und STUART, 1967), die FISZ (1970) als ,,modifiziertes Regressionsproblem" bezeichnete. Hierbei setzt man Y = ro(z ; ,5) + E, wobei ro(x; /?) einebis auf die Werte der Komponenten des Parametervektors als bekannt angenommene Funktion einer reellen nichtzufiiuigen Variablen ist. uber die ZufallsgroBe E , die meist als ,,Fehler" bezeichnet wird, werden geeignete Verteilungsannahmen (z. B. Normalverteilung) gemacht, damit nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip aus un-abhLngigen Beobachtungswerten yi bei fest vorgegebenen xi geschiitzt werden kann. Diems Vorgehen hat unter anderem den Vorteil, daB man bereits aus wenigen Beobachtungswerten relativ weitreichende Aussagen erhllt. Allerdings 1 Die= Arbeit wurde zu einem Ted im Rahmen des Forachungsverbandes ,,Arbeitsmedizin" der 2 Bezeichnung in Anlehnung an die kimische Literstur (vgl. z. B. TSCEUPROW, 1925). 21 Biom. Z. 19,4 DDR durchgefiihrt.
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