Grundlagen Math
ZUR MODELLTHEORIE LOKALER UND GLOBALER KORPER von NORBERT KLINGEN in Koln (BRD)
1. Einleitung
Nach ARTIN-TATE [l J lLBt sich die Klassenkorpertheorie, sowohl die lokale wie die globale, einheitlich auf die Axiome einer sogenannten Klassenformation zuruckfuhren ; besitzt also ein Korper eine Klassenformation im Sinne von [l], Kap. 14, so gelten die SLtze der Klassenkorpertheorie, speziell also der Isomorphiesatz. 1st diese Formation zusatzlich eine topologische Klassenformation ([l], Kap. 14, 0 6), so gilt sogar der Existenzsatz.
Man uberlegt sich nun leicht (siehe 2 . ) . daB fur einen Korper die Existenz einer Klassenformation eine elementare Eigenschaft ini Sinne der mathematischen Logik ist (formulierbar in der Sprache erster Stufe der Korpertheorie). Das bedeutet, da13 man fur Nichtstandardmodelle oder Ultraprodukte lokaler bzw. globaler Korper eine Klassenkorpertheorie besitzt. Beschrankt man sich auf lokale Korper, so hat dies den Vorteil, daB der Formationsmodul rein algebraisch durch den zugrunde gelegten Korper gegeben ist, wiihrend im globalen Fall die modelltheoretische Situation (Nichtstandardmodell, Ultraprodukt, 0 . a.) bei der Definition des Formationsmoduls von Bedeutung ist.
Zur Untersuchung der Gultigkeit des Existenzsatzes wird dann ein Nichtstandard-model1 *Q der vollen Struktur Q uber Q vorgegeben. Hinsichtlich der Grundlagen fiber Strukturen hoherer Stufe und ihre Xichtstandardmodelle sei auf KLINGEN [8], $ 1 verwiesen. Grob kann man die Situation etwa folgendermaoen umreiBen: In der vollen Struktur Q uber Q sind alle Objekte zusammengefaBt. die man mit den ublichen mengentheoretischen Bildungeri aus Q gewiniit : also alle Teilmengen von Q, beliebige kartesische Produkte, die Potenzmenge von Q usw. Auf diese Weise gehoren zu Q (bis auf Bijektionen) alle in der Zahlentheorie vorkommenden Objekte, wie algebraische Zahlkorper, endliche Korper, Funktionenkorper daruber, uberhaupt alle globalen und lokalen Korper. Die Eigenschhften eines Nichtstandardmodells *Q von Q lassen sich folgendermaBen zusammenfassen :
(1) Jedem Objekt X iiber Q ist ein Objekt *X uber *Q vom gleichen Typ zugeordnet.
[Die Objekte * X sind die sogenannten standard Objekte.]
Hierbei sind in ( 2 ) alle Aussagen zulassig, in denen die Quantoren durch Objekte X von Q beschrankt sind: ,,Fur alle a E X . . . .". GemaB (2) wird eine solche Aussage in *Q interpretiert als ,,fur alle a E*X . . . .". Dies bedeutet, daB z. B. die Aussage ,,fur alle Teilmengen von Q . . . ." in *Q interpretiert wird als ,,fur alle a E *[@(Q)] . . . .". *[Q(Q)J besteht zwar aus Teilmengen von *Q (nach ( 2 ) ) , aber im allgemeinen nicht aus allen; die Elemente von *[ p(Q)] heiBen interne Teilmengen von *Q. Entsprechend heiBen allgemein Objekte X intern, wenn sie Element eines Standardobjektes sind. Die Aussage ,,fiir alle Teilmengen von Q . . , ." wird also interpretiert als ,,fur alle internen Teilmengen von *Q . . . .". Die Einfiihrung des Begriffes ,,intern" erleichtert die Formulierung und betont zugleich deutlich, daB in *Q die Quantoren in eingeschrankter Weise zu interpretieren sind.