Bekanntlich beeinflussen die Glattheit und das Randverhalten einer auf [0, 11 definierten reellwertigen Funktion z(t) die Konvergenz der zugehorigen FOURIER-Reihe 1 bk = 2 J z(s) sin 2 k ~s ds, (k = I, 2, . . .) 0 wesentlich.
z ( p ) ( t ) sei beschdnkt und integrierbar in [0, 11. Gilt aul3erdem Es sei x ( t ) beispielsweise p-ma1 differenzierbar ( p = 1, 2, . . .) und die p-te Ableitung (2) z(k)(O) = x(k)(l), (k = 0, 1, ..
., pl ) , so existiert nach einem Ergebnis von S. N. BERNSTEIN eine nichtnegative Konstante a~ derart, da13 fur alle n = 1, 2, ... und jedes t E [0, 11 die Ungleichung (3) J z ( t ) -.sn(t)l 5 un-p In n erfiillt ist. Dabei bedeutet ~,,(t) die n-te Teilsumme von (1) (siehe 2;. B. [3], S. 494ff.). Genugt die Funktion x(t) den Randbedingungen (2) nicht, so gilt die AbschLtzung (3) i. a. nicht und die Konvergenz von (1) erfolgt langsamer. Urn auch in diesem Pall zu einer schnell konvergierenden Fomrm-Reihe zu gelangen, bildet man die Differenz s p ( t ) = z(t) -hP(t) mit einem geeigneten Polynoin hp(t), so dalj gp(t) den Randbedingungen (2) genugt. Somit lafit sich gp(t) in eine schnell konvergierende FomER-Reihe entwickeln und x(t) ist als Summe eines Polynoms und einer schnell konvergierenden Fomm-Reihe darstellbar.